Triple-free subsets (A050296)

Fri Oct 25 20:16:38 CEST 2002

On Fri, 25 Oct 2002, John Layman wrote:

> I have recently used a rather more efficient algorithm to evaluate Eric Weisstein's
> A050296 in the OEIS:
>
> ID Number: A050296
> Sequence:  1,1,2,2,3,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,10,11,11,12,12
> Name:      Maximum cardinality of a strongly triple-free subset of {1, 2, ..., n}.
> Links:     E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
> See also:  Cf. A050291-A050295.
> Keywords:  nonn,more
> Offset:    1
> Author(s): Eric W. Weisstein (eric at weisstein.com)
>
>
> Thus I am able to calculate up to 500-1000 terms without an unreasonable computation
> time and have submitted an extension to Neil.
>
> The reason for this note is that my calculated values for a(n)/n do not seem to
> be tending toward S. Finch's limiting value 0.613475... as stated in Eric's link
> to "The World of Mathematics".  (Finch's paper is currently unavailable on the web.)
>
> I would appreciate it if someone would confirm my calculated values below.
>
> For a(1) - a(700) I get:
>
>    1   1   2   2   3   4   5   5   6   6   7   7   8   8   9  10  11  11  12  12
>   13  13  14  15  16  16  16  16  17  18  19  19  19  19  20  21  22  22  22  22
>   23  24  25  26  27  27  28  28  29  29  29  30  31  32  33  33  33  33  34  34
>   35  35  36  37  38  39  40  41  41  41  42  42  43  43  43  44  45  46  47  48
>   49  49  50  50  51  51  52  52  53  53  54  55  55  55  56  57  58  58  59  60
>   61  62  63  63  63  63  64  64  65  65  65  66  67  68  69  70  71  71  72  73
>   74  74  74  75  76  76  77  77  77  77  78  78  79  79  79  79  80  81  82  83
>   83  83  84  85  86  86  86  87  88  89  90  90  91  91  92  92  93  93  93  93
>   94  94  95  96  96  96  97  98  99  99 100 100 101 102 103 104 104 104 105 106
>  107 107 107 107 108 109 110 111 111 111 112 112 113 113 113 114 115 115 116 116
>  116 116 117 117 118 118 119 120 121 122 123 124 124 124 125 126 127 127 127 128
>  129 130 131 131 132 132 133 133 134 134 134 134 135 135 136 137 137 137 138 138
>  139 139 139 140 141 142 143 143 143 143 144 145 146 146 146 147 148 149 150 151
>  152 152 153 154 155 155 155 156 157 158 159 160 160 160 161 161 162 162 163 163
>  164 165 166 167 167 167 168 168 169 169 169 170 171 172 173 173 173 173 174 174
>  175 175 175 176 177 177 178 179 179 179 180 181 182 182 183 184 185 186 187 188
>  188 188 189 190 191 191 191 191 192 193 194 195 196 196 197 197 198 198 198 199
>  200 200 201 201 201 201 202 202 203 203 203 203 204 205 206 207 207 207 208 208
>  209 209 209 210 211 212 213 214 215 215 216 216 217 217 217 217 218 219 220 221
>  221 221 222 223 224 224 225 226 227 228 229 229 229 229 230 231 232 232 232 233
>  234 235 236 237 238 238 239 240 241 241 241 242 243 243 244 244 244 244 245 245
>  246 246 247 247 248 249 250 251 251 251 252 252 253 253 253 254 255 256 257 257
>  258 258 259 259 260 260 260 261 262 262 263 264 264 264 265 266 267 267 267 268
>  269 270 271 272 272 272 273 274 275 275 275 275 276 277 278 279 280 280 281 282
>  283 283 283 284 285 286 287 287 287 287 288 288 289 289 290 291 292 293 294 295
>  295 295 296 296 297 297 297 298 299 300 301 301 301 301 302 302 303 303 304 304
>  305 305 306 307 307 307 308 308 309 309 310 311 312 313 314 314 314 314 315 315
>  316 316 316 316 317 318 319 320 321 321 322 323 324 324 324 325 326 326 327 328
>  328 328 329 329 330 330 331 331 332 333 334 335 335 335 336 337 338 338 338 339
>  340 341 342 342 343 343 344 344 345 345 345 346 347 348 349 350 350 350 351 352
>  353 353 354 355 356 357 358 358 358 358 359 360 361 361 361 361 362 363 364 365
>  365 365 366 366 367 367 367 368 369 369 370 370 370 370 371 371 372 372 373 373
>  374 375 376 377 377 377 378 378 379 379 379 380 381 382 383 384 385 385 386 386
>  387 387 387 387 388 388 389 390 390 390 391 392 393 393 393 394 395 396 397 397
>  397 397 398 399 400 400 400 401 402 403 404 405 406 406 407 408 409 409 409 410
>
>
> For the ratios a(10k)/(10k) I get (for k=1..70):
>
> 0.60000   0.60000   0.60000   0.55000   0.58000   0.56667   0.58571   0.60000
> 0.58889   0.60000   0.59091   0.60833   0.59231   0.59286   0.59333   0.58125
> 0.58235   0.58889   0.58421   0.58000   0.58095   0.58182   0.58261   0.57500
> 0.57200   0.58077   0.58519   0.58214   0.58276   0.58000   0.57742   0.58750
> 0.58485   0.58529   0.58000   0.57778   0.58108   0.58158   0.58462   0.58250
> 0.58780   0.58333   0.58372   0.58409   0.58222   0.58261   0.58511   0.58750
> 0.58571   0.59000   0.58824   0.58462   0.58302   0.58333   0.58364   0.58571
> 0.58421   0.58448   0.58475   0.58667   0.58689   0.58871   0.58571   0.58281
> 0.58308   0.58485   0.58209   0.58382   0.58406   0.58571
>
>
> P.S.  For the analogous weakly triple-free subsets in A050294, I find a strong
> tendency toward a limiting value of 0.75 for a(n)/n, instead of Finch's
> asymptotic value 0.8.  If my calculated values are confirmed, then it would
> seem that the theory needs to be revisited.
>
> John
>

You have a(32) = 19, but it should be 20:

2, 3, 5, 8, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32

Other values are incorrect, too, but this seems to be the first incorrect
one.

Here's a(1) - a(1000):

   1   1   2   2   3   4   5   5   6   6   7   7   8   8   9  10  11  11  12  12
  13  13  14  15  16  16  16  16  17  18  19  20  21  21  22  22  23  23  24  24
  25  26  27  27  28  28  29  30  31  31  32  32  33  33  34  34  35  35  36  36
  37  37  38  39  40  41  42  42  43  43  44  44  45  45  46  46  47  48  49  50
  51  51  52  52  53  53  54  54  55  55  56  56  57  57  58  59  60  60  61  61
  62  63  64  64  65  65  66  66  67  67  68  69  70  71  72  72  73  73  74  75
  76  76  77  77  78  78  79  79  80  80  81  81  82  82  82  82  83  84  85  85
  86  86  87  88  89  89  90  90  91  92  93  93  94  94  95  95  96  96  97  98
  99  99 100 100 101 101 102 103 104 104 105 105 106 107 108 109 110 110 111 111
 112 112 113 113 114 115 116 116 116 116 117 118 119 119 120 120 121 121 122 122
 123 123 124 124 125 125 126 127 128 129 130 130 131 131 132 132 133 133 134 134
 135 136 137 138 139 139 140 140 141 141 142 142 143 143 144 144 145 145 146 147
 148 148 149 149 150 151 152 152 153 153 154 154 155 155 156 156 157 158 159 159
 160 160 161 162 163 163 164 164 165 165 166 167 168 168 169 169 170 170 171 171
 172 173 174 174 175 175 176 177 178 178 179 179 180 181 182 182 182 182 183 183
 184 184 185 186 187 187 188 188 189 189 190 191 192 192 193 193 194 195 196 197
 198 198 199 199 200 200 201 201 202 203 204 204 205 205 206 207 208 208 209 209
 210 210 211 211 212 212 213 213 214 214 214 215 216 217 218 218 219 219 220 220
 221 221 222 222 223 224 225 226 227 227 228 228 229 229 230 230 231 231 232 232
 233 233 234 235 236 236 237 237 238 239 240 240 241 241 242 242 243 243 244 245
 246 247 248 248 249 249 250 251 252 252 253 253 254 254 255 256 257 257 258 258
 259 259 260 260 261 262 263 263 264 264 265 265 266 266 267 267 268 269 270 270
 271 271 272 272 273 273 274 275 276 276 277 277 278 278 279 280 281 281 281 281
 282 283 284 285 286 286 287 287 288 288 289 289 290 291 292 292 293 293 294 295
 296 296 297 297 298 299 300 300 301 301 302 302 303 303 304 305 306 307 308 308
 309 309 310 310 311 311 312 312 313 314 315 315 315 315 316 316 317 317 318 318
 319 319 320 320 321 321 322 323 324 324 325 325 326 327 328 328 329 329 330 330
 331 331 332 333 334 335 336 336 337 337 338 339 340 340 341 341 342 342 343 344
 345 345 346 346 347 347 348 348 349 350 351 351 352 352 353 354 355 355 356 356
 357 358 359 359 360 360 361 361 362 362 363 364 365 365 366 366 367 367 368 369
 370 370 371 371 372 373 374 375 376 376 377 377 378 378 379 379 380 381 382 382
 382 382 383 384 385 385 386 386 387 387 388 388 389 389 390 390 391 391 392 392
 393 394 395 395 396 396 397 397 398 398 399 399 400 401 402 403 404 404 405 405
 406 406 407 407 408 408 409 409 410 410 411 412 413 413 413 413 414 415 416 416
 417 417 418 418 419 419 420 421 422 423 424 424 425 425 426 427 428 428 429 429
 430 430 431 432 433 433 434 434 435 435 436 436 437 438 439 439 440 440 441 442
 443 443 444 444 445 446 447 447 448 448 449 449 450 450 451 452 453 453 454 454
 455 455 456 457 458 458 459 459 460 461 462 463 464 464 465 465 466 466 467 467
 468 469 470 470 471 471 472 472 473 473 474 474 475 475 476 476 477 477 478 478
 479 479 479 480 481 482 483 483 484 484 485 485 486 486 487 487 488 489 490 491
 492 492 493 493 494 494 495 495 496 496 497 497 498 498 499 500 501 501 502 502
 503 504 505 505 506 506 507 507 508 508 509 510 511 512 513 513 513 513 514 515
 516 516 517 517 518 518 519 520 521 521 522 522 523 523 524 524 525 526 527 527
 528 528 529 530 531 531 532 532 533 534 535 535 536 536 537 537 538 538 539 540
 541 541 542 542 543 543 544 545 546 546 547 547 548 549 550 550 551 551 552 552
 553 553 554 554 555 556 557 557 558 558 559 560 561 561 562 562 563 563 564 564
 565 565 566 566 567 567 568 569 570 571 572 572 573 573 574 574 575 575 576 576
 577 578 579 580 580 580 581 581 582 582 583 583 584 584 585 585 586 586 587 588
 589 589 590 590 591 592 593 593 594 594 595 595 596 596 597 598 599 600 601 601
 602 602 603 604 605 605 606 606 607 607 608 609 610 610 611 611 612 612 612 612

Rob Pratt
Department of Operations Research
The University of North Carolina at Chapel Hill

rpratt at email.unc.edu

http://www.unc.edu/~rpratt/