[seqfan] Fludd's sequences. The debate continues.

[Antti Karttunen]

Dear SeqFans, Other Interested People,

Hopefully having remembered to ask everybody's permission,
I will forward three latest e-mails from James Ingram
and Pierre Lamothe concerning the Fludd's sequence
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A082977
and the table (now marked dead)
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A082976

The original picture can be found at:
http://highway49.library.yale.edu/photonegatives/oneITEM.asp?pid=39002036242312&iid=3624231


Subject: Re: Fludd's sequences
Date: Sat, 31 May 2003 13:36:10 +0200
From: j.ingram at t-online.de (James Ingram)
To: Antti Karttunen <Antti.Karttunen at iki.fi>

Hi Antti,

Thanks for keeping me posted.

A couple of further thoughts:
1. The three towers stand for the flat (F), natural (C), and sharp (G) keys.
so do the different shaped organ pipes. The pillars explain the bass (F),
alto (C) and treble (G) clefs. Strange that the leading notes (si) are
omitted in ut re mi fa sol la. Note that fa is a b-flat in the key of F, but
that this is not mentioned (except perhaps by the b below). The fa in F is
on the b-natural level of the number triangle, suggesting that the number
triangle may, after all, be chromatically variable...
The accidentals may also be being omitted in the scale tables between the
feet of the top towers.
The three pillars/towers have nothing to do with the three octave range of
the upper number triangle.

2. The notes 1 3 5 6 may relate to the melody being explained in the score
above the number triangles - but I cant read it clearly enough to explore
this possibility. Probably Pierre is right that these are white-key numbers,
but I'm not convinced that seventh-chords are important enough in the
abstract.

You originally said that this drawing is an old problem. Is there any
literature about it?

Here is what I wrote to Neil last night:

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From: James Ingram <j.ingram at t-online.de>
Date: Sat, 31 May 2003 00:25:48 +0200
To: <njas at research.att.com>
Subject: Re: Fludd's sequences

Hi Neil,

As I said to Antti (in my second message), I think Fludd's drawing may be a
kind of "spot the deliberate mistakes" game. Possibly a satire on the folly
of human wisdom (especially the rarified musicological variety).

So I think the 33 is wrong too. I think the triangle should be

1
2 3
4 6 9
8 12 18 27
16 24 36 54 81
32 48 72 108 162 243

In addition to the wrong 33 at row 5, column 1, there are two other
mistakes:
row 4, column 2 should be 12, not 16
row 4, column 4 should be 27, not 24

Actually Fludd may be refering to some time-mode I dont know about... :-)...
I'm not an expert in early seventeenth century music. But getting to 243 via
24 would be rather difficult...

These numbers are the lengths of duration symbols measured in terms of the
shortest unit (the 1 = semiminima at the top of the triangle), in different
time-modi. A minima can contain either 2 or 3 semiminimas (or is it
semiminimi?).
To get the numbers in the above triangle, one doubles the number above
and/or trebles the number above and to the left. The 6 in row 2 is 3x2 and
2x3. The 18 in row 4 is 3x6 and 2x9. The bottom row contains the number of
semiminima contained by the longest symbol when it is used in different
time-modi. This interpretation is clearly suggested by the duration symbols
notated between the numbers.

In modern standard notation/terminology, the equivalent would be the use of
triplets, triplets of triplets etc. One can have either 2 or 3 quavers in a
crotchet ("eighth"-notes in a "quarter" note), 2 or 3 crotchets in a mimin
("quarters" in a "half"),  2 or 3 minims in a semibreve ( half-notes in a
whole note) etc. Sixteenth century musicians thought of these things in
terms of time-modi.

hope that helps,

best wishes

James

P.S.  I still think there is a (musical) mystery about the other sequence.
The rotated seventh chords sound a bit far fetched to me - though Pierre may
well be right. The sequence bears a strong resemblance to
{1,3,5,6,8,10,12} mod 12
which are the key numbers, on a standard chromatic keyboard, for a major
scale. If I'm right, there is one mistake (within the range used by Fludd).
The 19 should be an 18.
Fludd's 1,3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24
should be 1,3,5,6,8,10,12,13,15,17,18,20,22,24

I think the existence of a mistake may even be evidence in my favour! :-)

j


Subject: Re: Fludd's sequences
Date: Tue, 3 Jun 2003 21:09:04 -0400
From: "Pierre Lamothe" <poplamothe at hotmail.com>
To: "Antti Karttunen" <Antti.Karttunen at iki.fi>

Cher Antti,

Je n'ai pas pu répondre avant aujourd'hui.

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James écrit : "I dont understand why the chords are not in root position -
the sequence 7n + (1 3 5 7). The rotation needs explaining."

En effet. Je crois que c'est pour une raison de symétrie. La suite des
différences dans

    Note 3 5 6 8 10 12 13 15 17 19 20 22 24

est

    2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2

Si l'on se donne la contrainte palindromique comme reflet de la dualité
montante-descendante (équivalence horizontale-verticale), la racine des
accords dépendra alors uniquement de l'étendue de l'échelle fixe à
recouvrir. Celles-ci correspondraient à la "root position"

    2 2 2 1 2 2 2
    2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
    2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2

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James écrit : "Possibly Fludd thought the submediant important (i.e. these
are "added sixth" chords)."

Un "accord de septième" ne désigne pas un accord spécifique, mais un type
générique d'accords, soit quatre sons obtenus par superposition de tierces.
Une expression comme "added sixth" n'a de sens qu'en vue de spécifier une
variante spécifique, non réductible, à l'intérieur du système étendu de
superposition des tierces. Il m'apparait superflu d'évoquer même la notion
de renversement dans le contexte.

Pour approfondir un peu, je pose la question : "Les propriétés de consonance
des courtes suites de tierces sont-elles un résultat fortuit de l'échelle
fixe utilisée ou une propriété constitutive de cette échelle ?"

1) Originairement, cette échelle fixe est un compact de quintes modulo
octave. C'est analogue à une superposition de quintes déployée sur l'axe
mélodique. Découlant de la façon dont s'enroulent sept quintes, modulo
octave, la disposition en tierces 1 (81) 3 (243) 9 (729) 27 fait alterner
petites 1 3 9 27 et grandes (81 243 729) valeurs. Cette alternance inscrite
dans le cycle des quintes va s'avérer importante pour la question.

2) Or il existe une propriété remarquable, la seule à invoquer pour
expliquer la bonne fortune harmonique et la pérennité de l'échelle issue du
cycle des quintes : l'harmonique 5 est située à proximité de la grande
valeur 81 (à un comma syntonique de distance).

3) La polyphonie amènera à substituer aux grandes valeurs (81 243 729) les
valeurs (5 15 45) pour donner d'abord aux triades majeures et mineures, qui
surviennent sur l'axe vertical, une parfaite consonance. La disposition en
tierces devient 1 (5) 3 (15) 9 (45) 27. L'alternance évoquée petites-grandes
devient ainsi une alternance primale 3-5.

4) Dans le contexte d'un réseau d'intervalles utilisant peu de petits
nombres premiers, comme ici 3 et 5, la valeur consonantique des accords et
l'optimalité des possibilités harmoniques d'une échelle sont liées aux
propriétés de convexité et de compacité de l'ensemble d'intervalles
considéré.
(Une exception à la compacité est l'accord 6/9 qui consonne mieux
théoriquement étiré sur l'axe 3).

5) La valeur consonantique des accords dans le réseau 3-5 implique un
mélange équilibré de valeurs 5 assurant convexité et compacité. Or c'est
bien ce mélange équilibré qui résulte de l'usage de sous-suites ordonnées de
1 (5) 3 (15) 9 (45) 27, équilibre grandement redevable à l'alternance
primale 3-5. De prime abord, les cinq sous-suites ordonnées de trois
éléments sont alternativement la triade majeure 1 5 3 et son dual (la triade
mineure).

6) Pour étudier la consonance des accords de quatre sons, traduisons d'abord
la suite en demi-tons tempérés. On trouve 0 (4) 7 (11) 2 ( 6) 9. De façon
cyclique, la suite de différences à considérer est 4 3 4 3 4 3 - 3 4 et les
sous-suites distinctes sont -- 4 3 4 -- 3 4 3 -- 4 3 3 -- 3 3 4. Les accords
4 3 4 et 3 4 3 correspondent aux accords constitutifs Maj7 (1 5 3 15) et
min7 (5 3 15 9).

7) En dépassant la limite, l'accord suivant 4 3 3, n'est plus convexe et
partant pas vraiment consonant dans le réseau 3-5. Mais, dans 9 45 27 1, ce
à quoi cet accord correspondrait en terme d'harmoniques constitutives, si on
remplace la valeur 1 par 63 (à un peu plus d'un comma de distance), on
trouve l'accord de quatre sons le plus consonnant qui soit 1 5 3 7, mais
dans le réseau 3-5-7. On sait le rôle majeur joué par cet accord qui,
sortant du cadre harmonique constitutif, appelle sa résolution, c'est-à-dire
le retour à ce cadre. Je laisse de côté l'accord suivant 3 3 4 qui équivaut
au dual de 4 3 3, c'est-à-dire aux sous-harmoniques 7 3 5 1.

En résumé, les suites de tierces ne sont pas simplement un moyen arbitraire
ou commode pour créer des accords dans le cadre des modes heptatoniques
dérivés du cycle des quintes, mais leur fécondité harmonique est inscrite
génétiquement dans cette échelle fixe qui, en un sens, en dérive.

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James écrit : "Strange that the leading notes (si) are omitted in ut re mi
fa sol la".

Il ne faut pas confondre l'échelle fixe ... A B C D E F G ... et l'hexacorde
mobile ut re mi fa sol la qui sert à solfier et ne comporte ainsi à dessein
qu'un seul demi-ton.

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Je lirai plus tard l'autre partie du message et verrai si j'ai de quoi à y
ajouter.

Salut bien,

Pierre



Subject: Re: Fludd's sequences
Date: Wed, 4 Jun 2003 03:43:10 -0400
From: "Pierre Lamothe" <poplamothe at hotmail.com>
To: "Antti Karttunen" <Antti.Karttunen at iki.fi>

Cher Antti,

James écrit :

> Probably Pierre is right that these are white-key numbers,
> but I'm not convinced that seventh-chords are important enough in the
> abstract.

1) Je n'ai jamais considéré ces nombres comme des "white-key numbers"
mais bien comme les degrés des divers modes qui occurent en se déplaçant sur
l'échelle fixe, et ce en vertu d'un principe de congruité inscrit dans toute
échelle musicale bien construite. Quand, plus tard, on a ajouté les
altérations (on utilise ici seulement l'alternative b-mol ou b-carre), on a
toujours strictement respecté cette congruence, distinguant par exemple
quarte augmentée et quinte diminuée.

2) La superposition généralisée de quatre voix dans le contrepoint précède
la reconnaissance comme accords des superpositions de notes. Ce qui est en
réalité une "abstraction", ce sont ces entités spécifiques dénommées accords
qui regroupent sous une même appellation diverses réalisations reconnues dès
lors comme renversements d'un même accord.

Ça suppose l'existence d'un principe de reconnaissance de l'état fondamental
d'un accord. Si les considérations harmoniques ont eu une certaine
importance pour fonder les triades, on a tôt fait de se rabattre sur la
simple superposition de tierces pour construire le système des accords. Il
faut éviter de regarder le passé avec les yeux d'aujourd'hui, et voir comme
"abstract" le fondement concret du vocabulaire musical abstrait actuel.

James écrit :

> If I'm right, there is one mistake (within the range used by Fludd).
> The 19 should be an 18.
> Fludd's 1,3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24
> should be 1,3,5,6,8,10,12,13,15,17,18,20,22,24
Je ne vois pas comment on pourrait voir dans le 33 du triangle, par exemple,
autre chose qu'une erreur. Mais il n'y a pas de raison d'en supposer une
ici.

Soustraite de 25, la suite de Fludd s'inverse, l'autre non.

Ce n'est pas là une explication mais une incitation à lire plus
attentivement les explications des messages précédents, qui justifient
pleinement ces valeurs.

Pierre