Valyi pedal sequence

[Brendan McKay]

* Brendan McKay <bdm at cs.anu.edu.au> [050114 14:38]:
> * David Wilson <davidwwilson at comcast.net> [050114 14:20]:
> > Found the first six elements of Valyi's pedal sequence at
> > http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Valyi.html
> > and submitted as A102536.
> > 
> > Can someone find a reference?

I think I found the original paper.   He uses "Fusspunktdreicke"
which is something like "foot/base triangle" presumably refering to
the feet of the altitudes.  I don't know how it got to be "pedal".

I found the citation in the Electronic Research Archive for
Mathematics Jahrbuch Database at  http://www.emis.de/MATH/JFM/ .

This is a famous journal that many university libraries will have.

Brendan.

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JFM 34.0551.02
Valyi, J.
Über die Fusspunktdreiecke. (German)
[J] Monatsh. f. MAth. $ 14$, 243-252.
Published: (1903)
Das Dreieck, dessen Ecken die Fusspunkte der Höhen des gegebenen
Dreiecks $ABC$ sind, heisst das Fusspunktdreieck des Dreieck $ABC$.
Das Fusspunktdreieck dieses Fusspunktdreiecks heisst das zweite
Fusspunktdreieck des Dreiecks $ABC$. Allgemein wird unter dem
$n$-ten Fusspunktdreieck des Dreiecks $ABC$ das Fusspunktdreieck des
$(n-1)$-ten Fusspunktdreiecks verstanden. Der Verf. sucht und zählt
nun alle diejenigen Dreiecke, die ihrem $n$-ten Fusspunktdreiecke
ähnlich sind, wobei natürlich alle untereinander ähnlichen Dreiecke
nur als eins gezählt werden. Die gesuchte Zahl ist $\psi(n)=2^n
\cdot (2^n-1)$. Für die Anzahl derjenigen Dreiecke, von deren
Fusspunktdreiecken das $n$-te das erste ist, welches dem gegebenen
ähnlich ist ergibt sich der Ausdruck: $$\chi(n)=\psi(n)-\sum \psi
\left( \frac{n}{p_1} \right) + \sum \psi \left( \frac{n}{p_1p_2}
\right) - \cdots. $$ Hierin bedeuten $p_1,p_2,\dots,p_n$ die
verschiedenen Primfaktoren von $n$. Drei Tafeln am Schlu\ss\ der
Arbeit enthalten diejenigen Dreiecke, die ihren ersten, zweiten oder
dritten Fusspunktdreiecken ähnlich sind.

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By 1912, it is a "pedal sequence" and here is a paper on it:

JFM 43.0662.08
Hayashi, T.
On the pedal triangles similar to the original triangles. (English)
[J] Nieuw Archief (2) 10, 5-9.
Published: (1912)
Beweis des Satzes: ``Es gibt 11 Punkte, deren zugehörige
Fusspunktdreiecke dem ursprünglichen Dreieck ähnlich sind; diese 11
Punkte liegen auf einem Kreise.'' (Vgl. {\it Jan de Vries}, ``Über
rechtwinklige Fusspunktdreiecke''. Nieuw Archief (2) 9, 130-132; F.
d. M. 41, 574, 1910.)


And the paper cited:

JFM 41.0574.01
de Vries, Jan
Über rechtwinklige Fusspunktdreiecke. (x)
[J] Nieuw Archief (2) 9, 130-132.
Published: (1910)
``Der Ort der Punkte, denen in bezug auf ein vorgegebenes Dreieck
rechtwinklige Fusspunktdreiecke zugeordnet sind, wird gebildet von den
drei Kreisen, welche den Umkreis in je zwei Eckpunkten des Dreiecks
rechtwinklig schneiden.''