Valyi pedal sequence

[Ralf Stephan]

> [J] Monatsh. f. MAth. $ 14$, 243-252.
> Published: (1903)
> Das Dreieck, dessen Ecken die Fusspunkte der Höhen des gegebenen
> Dreiecks $ABC$ sind, heisst das Fusspunktdreieck des Dreieck $ABC$.
> Das Fusspunktdreieck dieses Fusspunktdreiecks heisst das zweite
> Fusspunktdreieck des Dreiecks $ABC$. Allgemein wird unter dem
> $n$-ten Fusspunktdreieck des Dreiecks $ABC$ das Fusspunktdreieck des
> $(n-1)$-ten Fusspunktdreiecks verstanden. Der Verf. sucht und zählt
> nun alle diejenigen Dreiecke, die ihrem $n$-ten Fusspunktdreiecke
> ähnlich sind, wobei natürlich alle untereinander ähnlichen Dreiecke
> nur als eins gezählt werden. Die gesuchte Zahl ist $\psi(n)=2^n
> \cdot (2^n-1)$. Für die Anzahl derjenigen Dreiecke, von deren
> Fusspunktdreiecken das $n$-te das erste ist, welches dem gegebenen
> ähnlich ist ergibt sich der Ausdruck: $$\chi(n)=\psi(n)-\sum \psi
> \left( \frac{n}{p_1} \right) + \sum \psi \left( \frac{n}{p_1p_2}
> \right) - \cdots. $$ Hierin bedeuten $p_1,p_2,\dots,p_n$ die
> verschiedenen Primfaktoren von $n$. Drei Tafeln am Schlu\ss\ der
> Arbeit enthalten diejenigen Dreiecke, die ihren ersten, zweiten oder
> dritten Fusspunktdreiecken ähnlich sind.

[shortened]
The triangle with corners the altitude bases of a given triangle ABC, are
called pedal triangles. The pedal triangle of this triangle is the second
pedal triangle. Generally, we understand the nth pedal triangle of the
triangle ABC the pedal triangle of the (n-1)th pedal triangle. Author
searches and counts all triangles that are similar to their nth pedal
triangle, where all mutually similar triangle are counted as one.
The number of these is psi(n)=2^n(2^n-1). The number of triangles for
which the the nth pedal triangles is the first that is similar to it,
he gets chi(n) [...] where p_1,p_2,...p_n are the different prime factors
of n. The author finishes his work with a table of those triangles that
are similar to their 1st, 2nd and 3rd pedal triangles.

> -----------------------------------------------
> 
> By 1912, it is a "pedal sequence" and here is a paper on it:
> 
> JFM 43.0662.08
> Hayashi, T.
> On the pedal triangles similar to the original triangles. (English)
> [J] Nieuw Archief (2) 10, 5-9.
> Published: (1912)
> Beweis des Satzes: ``Es gibt 11 Punkte, deren zugehörige
> Fusspunktdreiecke dem ursprünglichen Dreieck ähnlich sind; diese 11
> Punkte liegen auf einem Kreise.'' (Vgl. {\it Jan de Vries}, ``Über
> rechtwinklige Fusspunktdreiecke''. Nieuw Archief (2) 9, 130-132; F.
> d. M. 41, 574, 1910.)

Proof of: There are 11 points whose pedal triangles are similar to
the original triangle; those 11 points lie on a circle.


> JFM 41.0574.01
> de Vries, Jan
> Über rechtwinklige Fusspunktdreiecke. (x)
> [J] Nieuw Archief (2) 9, 130-132.
> Published: (1910)
> ``Der Ort der Punkte, denen in bezug auf ein vorgegebenes Dreieck
> rechtwinklige Fusspunktdreiecke zugeordnet sind, wird gebildet von den
> drei Kreisen, welche den Umkreis in je zwei Eckpunkten des Dreiecks
> rechtwinklig schneiden.''

The locus/place(?) of those points that have rectangular pedal triangles
with respect to a given triangle is determined by the three circles that cut
the enveloping circle in two corners of the triangle each and rectangularly.


Blame me, I don't do this professionally.
ralf