Fibonacci

[Ignacio Larrosa Cañestro]

Sunday, October 15, 2006 3:54 PM [GMT+1=CET],
Emeric Deutsch <deutsch at duke.poly.edu> escribió:

> Dear Seqfan,
> Is the following known?
>
> fibonacci(n)=Product(1 + 4[cos(j*Pi/n)]^2,  j=1..ceil(n/2)-1)
>
> Thanks,
> Emeric

I post it in the newsgroup es.ciencia.natematicas and Antonio González said:

===================
Veamos. Lo hago para n par, n = 2m. Será igual para n impar y seguro que
hay un camino más corto, pero allá va.

Comenzamos por un poquito de trigonometría

  P(m) = prod_(k=1)^m (1 + 4 cos(k pi/(2m))^2) =

       = prod_(k=1)^m (3 + 2 cos(k pi/m)) =

       = prod_(k=1)^m (3 + exp(i k pi/m) + exp(-i k pi/m))

Ahora, factorizando

   x^2 + 3x + 1 = (x + A^2)(x + 1/A^2)

donde A = (rq(5)+1)/2 es el número áureo. Por tanto P(m) se puee escribir

  P(m) = prod_(k=1)^m (exp(i k pi/m) + A^2)(1 + exp(-i k pi/m)/A^2)

Sacando factor común

  P(m) = (1/A^(2m)) x

    x prod_(k=1)^m (exp(i k pi/m) + A^2)(exp(-i k pi/m) + A^2)

considerando los segundos factores como términos correspondientes a k
negativos vemos que recorremos los valores de 1 a m y de -1 a -m. Si
incluimos el factor correspondiente a k=0 y sacamos el correspondiente a
k = -m, nos queda

   P(m) = (A^2-1)/((A^2+1)A^(2m)) x

        x prod_(k=-m)^(m-1) (exp(i k pi/m) + A^2)

o, equivalentemente, teniendo en cuenta la periodicidad de exp(i k pi/m)

   P(m) = (A^2-1)/((A^2+1)A^(2m)) x

        x prod_(k=0)^(2m-1) (exp(i k pi/m) + A^2)

Ahora bien

  f(z) = prod_(k=0)^(2m-1) (z + exp(i k pi/m))

no es más que el polinomio que verifican las raíces 2m-simas de la
unidad, cambiadas de signo, esto nos da

  f(z) = z^(2m) - 1

y, por tanto,

  P(m) = (A^2 -1)/(A^2 + 1)(A^(4m) - 1)/A^(2m) =

       = (A^2 - 1)/(A^2+1)(A^(2m) - 1/A^(2m))

pero

  (A^2 - 1)/(A^2 + 1) = 1/rq(5)

y

   P(m) = (A^(2m) - 1/A^(2m))/rq(5) = Fib(2m) = Fib(n)

por tanto, para n par resulta el número de Fibonacci correspondiente. De
forma análoga para n impar.

========================

Best regards,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosa at mundo-r.com