[seqfan] Re: Some number triangles

[Dale Gerdemann]

Hello SeqFans,


Here are some examples of tilings for counting the Fibonomial. The tiles
are labeled 'u' and 'd' ("up" and "down") followed by the weight (or number
of colors for the tile, if you prefer). The rule is that an up with n downs
to the left gets weight F(n+1) and a down with n ups to the left gets
weight F(n-1). So a down with no ups to the left gets weight F(-1), which
is by precursion (running the recursion backward) 1. A down with one up to
the left gets weight F(0)=0, which causes a lot of the tilings to have null
weight. For example, the weights of the tilings for Fibonomial(6,3) are, as
given below: [27,0,0,0,12,0,0,3,0,3,8,0,0,2,0,2,1,0,0,1,1], which sums to
60 just as required. So just as in pinball, where the award for winning is
a free game, the award for counting Fibonomial(6,3) is that you get a new
sequence to contemplate: 27,0,0,0,12,0,0,3,0,3,8,0,0,2,0,2,1,0,0,1,1.




Fibonomial( 0 , 0 ) =  1

 = 1



Fibonomial( 1 , 0 ) =  1

u1  = 1

Fibonomial( 1 , 1 ) =  1

d1  = 1



Fibonomial( 2 , 0 ) =  1

u1 u1  = 1

Fibonomial( 2 , 1 ) =  1

d1 u1  = 1

u1 d0  = 0

Fibonomial( 2 , 2 ) =  1

d1 d1  = 1



Fibonomial( 3 , 0 ) =  1

u1 u1 u1  = 1

Fibonomial( 3 , 1 ) =  2

d1 u1 u1  = 1

u1 d0 u1  = 0

u1 u1 d1  = 1

Fibonomial( 3 , 2 ) =  2

d1 d1 u2  = 2

d1 u1 d0  = 0

u1 d0 d0  = 0

Fibonomial( 3 , 3 ) =  1

d1 d1 d1  = 1



Fibonomial( 4 , 0 ) =  1

u1 u1 u1 u1  = 1

Fibonomial( 4 , 1 ) =  3

d1 u1 u1 u1  = 1

u1 d0 u1 u1  = 0

u1 u1 d1 u1  = 1

u1 u1 u1 d1  = 1

Fibonomial( 4 , 2 ) =  6

d1 d1 u2 u2  = 4

d1 u1 d0 u2  = 0

u1 d0 d0 u2  = 0

d1 u1 u1 d1  = 1

u1 d0 u1 d1  = 0

u1 u1 d1 d1  = 1

Fibonomial( 4 , 3 ) =  3

d1 d1 d1 u3  = 3

d1 d1 u2 d0  = 0

d1 u1 d0 d0  = 0

u1 d0 d0 d0  = 0

Fibonomial( 4 , 4 ) =  1

d1 d1 d1 d1  = 1



Fibonomial( 5 , 0 ) =  1

u1 u1 u1 u1 u1  = 1

Fibonomial( 5 , 1 ) =  5

d1 u1 u1 u1 u1  = 1

u1 d0 u1 u1 u1  = 0

u1 u1 d1 u1 u1  = 1

u1 u1 u1 d1 u1  = 1

u1 u1 u1 u1 d2  = 2

Fibonomial( 5 , 2 ) =  15

d1 d1 u2 u2 u2  = 8

d1 u1 d0 u2 u2  = 0

u1 d0 d0 u2 u2  = 0

d1 u1 u1 d1 u2  = 2

u1 d0 u1 d1 u2  = 0

u1 u1 d1 d1 u2  = 2

d1 u1 u1 u1 d1  = 1

u1 d0 u1 u1 d1  = 0

u1 u1 d1 u1 d1  = 1

u1 u1 u1 d1 d1  = 1

Fibonomial( 5 , 3 ) =  15

d1 d1 d1 u3 u3  = 9

d1 d1 u2 d0 u3  = 0

d1 u1 d0 d0 u3  = 0

u1 d0 d0 d0 u3  = 0

d1 d1 u2 u2 d1  = 4

d1 u1 d0 u2 d1  = 0

u1 d0 d0 u2 d1  = 0

d1 u1 u1 d1 d1  = 1

u1 d0 u1 d1 d1  = 0

u1 u1 d1 d1 d1  = 1

Fibonomial( 5 , 4 ) =  5

d1 d1 d1 d1 u5  = 5

d1 d1 d1 u3 d0  = 0

d1 d1 u2 d0 d0  = 0

d1 u1 d0 d0 d0  = 0

u1 d0 d0 d0 d0  = 0

Fibonomial( 5 , 5 ) =  1

d1 d1 d1 d1 d1  = 1



Fibonomial( 6 , 0 ) =  1

u1 u1 u1 u1 u1 u1  = 1

Fibonomial( 6 , 1 ) =  8

d1 u1 u1 u1 u1 u1  = 1

u1 d0 u1 u1 u1 u1  = 0

u1 u1 d1 u1 u1 u1  = 1

u1 u1 u1 d1 u1 u1  = 1

u1 u1 u1 u1 d2 u1  = 2

u1 u1 u1 u1 u1 d3  = 3

Fibonomial( 6 , 2 ) =  40

d1 d1 u2 u2 u2 u2  = 16

d1 u1 d0 u2 u2 u2  = 0

u1 d0 d0 u2 u2 u2  = 0

d1 u1 u1 d1 u2 u2  = 4

u1 d0 u1 d1 u2 u2  = 0

u1 u1 d1 d1 u2 u2  = 4

d1 u1 u1 u1 d1 u2  = 2

u1 d0 u1 u1 d1 u2  = 0

u1 u1 d1 u1 d1 u2  = 2

u1 u1 u1 d1 d1 u2  = 2

d1 u1 u1 u1 u1 d2  = 2

u1 d0 u1 u1 u1 d2  = 0

u1 u1 d1 u1 u1 d2  = 2

u1 u1 u1 d1 u1 d2  = 2

u1 u1 u1 u1 d2 d2  = 4

Fibonomial( 6 , 3 ) =  60

d1 d1 d1 u3 u3 u3  = 27

d1 d1 u2 d0 u3 u3  = 0

d1 u1 d0 d0 u3 u3  = 0

u1 d0 d0 d0 u3 u3  = 0

d1 d1 u2 u2 d1 u3  = 12

d1 u1 d0 u2 d1 u3  = 0

u1 d0 d0 u2 d1 u3  = 0

d1 u1 u1 d1 d1 u3  = 3

u1 d0 u1 d1 d1 u3  = 0

u1 u1 d1 d1 d1 u3  = 3

d1 d1 u2 u2 u2 d1  = 8

d1 u1 d0 u2 u2 d1  = 0

u1 d0 d0 u2 u2 d1  = 0

d1 u1 u1 d1 u2 d1  = 2

u1 d0 u1 d1 u2 d1  = 0

u1 u1 d1 d1 u2 d1  = 2

d1 u1 u1 u1 d1 d1  = 1

u1 d0 u1 u1 d1 d1  = 0

u1 u1 d1 u1 d1 d1  = 1

u1 u1 u1 d1 d1 d1  = 1

Fibonomial( 6 , 4 ) =  40

d1 d1 d1 d1 u5 u5  = 25

d1 d1 d1 u3 d0 u5  = 0

d1 d1 u2 d0 d0 u5  = 0

d1 u1 d0 d0 d0 u5  = 0

u1 d0 d0 d0 d0 u5  = 0

d1 d1 d1 u3 u3 d1  = 9

d1 d1 u2 d0 u3 d1  = 0

d1 u1 d0 d0 u3 d1  = 0

u1 d0 d0 d0 u3 d1  = 0

d1 d1 u2 u2 d1 d1  = 4

d1 u1 d0 u2 d1 d1  = 0

u1 d0 d0 u2 d1 d1  = 0

d1 u1 u1 d1 d1 d1  = 1

u1 d0 u1 d1 d1 d1  = 0

u1 u1 d1 d1 d1 d1  = 1

Fibonomial( 6 , 5 ) =  8

d1 d1 d1 d1 d1 u8  = 8

d1 d1 d1 d1 u5 d0  = 0

d1 d1 d1 u3 d0 d0  = 0

d1 d1 u2 d0 d0 d0  = 0

d1 u1 d0 d0 d0 d0  = 0

u1 d0 d0 d0 d0 d0  = 0

Fibonomial( 6 , 6 ) =  1

d1 d1 d1 d1 d1 d1  = 1



Dale

On Thu, Apr 9, 2015 at 7:31 PM, Olivier Gerard <olivier.gerard at gmail.com>
wrote:

> On Thu, Apr 9, 2015 at 3:35 PM, Dale Gerdemann <dale.gerdemann at gmail.com>
> wrote:
>
> > Dear SeqFans,
> >
> >
> > I've collected here some number triangles whose row sums are OEIS
> > sequences. They all follow a basic parameterized formula. Most of these
> > triangles are not in OEIS, and those that are in OEIS are usually defined
> > with rather different formulae.
> >
> >
> Dear Dale,
>
> you have yourself noticed that the simplest cases are already in the OEIS,
> for good reasons, as generalizations of the binomial and eulerian
> triangles.
>
> Half of your triangles have simple and growing GCDs that should
> probably be simplified, factored away, and the sums have simple
> definitions.  If you submit them as Neil suggested, please come
> up with an idea of what they are counting (the binomial triangle
> decomposes subsets by number of elements = binary words by number
> of bits equal to 0 or 1, the eulerian triangle decomposes permutations
> by, among other things, rises). It will give some motivations to these
> entries.
>
> You sent the link to your videos. Next time please do it for your
> (proposed or not) sequences too instead of including them in a message.
> It was much too big for the standards of that mailing list.
>
> Regards,
>
> Olivier
>
> _______________________________________________
>
> Seqfan Mailing list - http://list.seqfan.eu/
>