[seqfan] Anti-Carmichael numbers

[Tomasz Ordowski]

Dear SeqFan!

See http://oeis.org/A121707.

Here's a simple definition of these numbers:

Numbers n such that p-1 does not divide n-1 for every prime p dividing n.

PROOF.

Carmichael numbers: composite n coprime to 1^(n-1)+2^(n-1)+...+(n-1)^(n-1).

Anti-Carmichael numbers: n such that p-1 non | n-1 for every prime p | n.

 Odd numbers n>1 such that n | 1^(n-1)+2^(n-1)+...+(n-1)^(n-1). (**)

Equivalently: Numbers n>1 such that n^3 | 1^n+2^n+...+(n-1)^n. (*)

Cf. http://oeis.org/A121707 (see conjecture in the second comment).

Professor Schinzel (2015) proved the equivalence (*) <=> (**). QED.

Problem: What is the natural density D of the set of these numbers?

Can be proved that 0.1 < D < 0.3.  My conjecture: D = 2/pi^2.

Sincerely,

Tomasz Ordowski
______________
Szanowny Panie,
Podzielność (*) n^3|1^n+...+(n-1)^n=S_n(n) wymaga żeby n było nieparzyste,
bowiem z 2^a|n (a>0) wynika S_n(n)= n/2 mod 2^(a+2). Zatem (*) jest
rownoważna  podzielności n^3|(1^n+(n-1)^n)+(2^n+(n-2)^n)+...+((n-1)^n+1^n).
Ale przy n nieparzystym dla każdego i :i^n+(n-i)^n=n^2*i^(n-1), zatem
podzielność (*) jest rownoważna podzielności (**) n|S_(n-1)(n). Z drugiej
strony podzielność (**) i warunek 4 nie dzieli n wymagają nieparzystości n.
Lącze pozdrowienia.
                Andrzej Schinzel