[seqfan] Re: Anti-Carmichael numbers

Sat Jul 21 16:02:15 CEST 2018

Dear Neil,

Here is the original email from Dec 29 2015:

Szanowny Panie,
Podzielnosc (*) n^3|1^n+...+(n-1)^n=S_n(n) wymaga,zeby n było
nieparzyste,bowiem z 2^a|n (a>0) wynika S_n(n)= n/2 mod 2^(a+2).Zatem (*)
jest rownowazna  podzielności n^3|(1^n+(n-1)^n) +(2^n +(n-2)^n)
+...+((n-1)^n +1^n).Ale przy n nieparzystym dla każdego i
:i^n+(n-i)^n=n^2*i^(n-1),zatem podzielność  (*) jest rownowazna
podzielności (**)n|S_(n-1)(n).Z drugiej strony podzielność (**) i warunek 4
nie dzieli n wymagają nieparzystości n.
Lacze pozdrowienia.
                Andrzej Schinzel

In answer to my question from Dec 28 2015:

Szanowny Panie Profesorze!

Na koniec roku pragnę przypomnieć pewną zaskakującą koincydencję
podzielności,
której nie udało mi się wyjaśnić, więc zadam przed czasem takie pytanie
kwartalne.

Niech n > 1.

(1) n^3 dzieli 1^n+2^n+...+(n-1)^n dla n = 35, 55, 77, 95, ...

(2) 4 nie dzieli n dzieli 1^(n-1)+2^(n-1)+...+(n-1)^(n-1)

dla tych samych n (sprawdzone aż do n = 10^4).

Jak udowodnić tę równoważność?

Należy zauważyć, że

n^2 dzieli 1^n+2^n+...+(n-1)^n dla każdego n nieparzystego i tylko takiego.

Proszę o odpowiedź w ramach naszej umowy, by mieć sprawę z głowy (rym).

Z poważaniem,

Tomasz Ordowski
___________________
http://oeis.org/A121707

Sincerely,

Thomas Ordowski

2018-07-21 15:41 GMT+02:00 Neil Sloane <njasloane at gmail.com>:

> Thomas, What was the date of Andrzey Shinzel's letter that you mention in
> A121707?
>
> Can you please scan it and add the pdf file to A121707?  I can ask him for
> permission.
>
> Of course it does not matter that the letter is in Polish.
>
>
>
> Best regards
> Neil
>
> Neil J. A. Sloane, President, OEIS Foundation.
> 11 South Adelaide Avenue, Highland Park, NJ 08904, USA.
> Also Visiting Scientist, Math. Dept., Rutgers University, Piscataway, NJ.
> Phone: 732 828 6098; home page: http://NeilSloane.com
> Email: njasloane at gmail.com
>
>
> On Fri, Jul 20, 2018 at 8:40 AM, Tomasz Ordowski <tomaszordowski at gmail.com
> >
> wrote:
>
> > P.S. Note:
> >
> > My proof that A121707 are "anti-Carmichael numbers" is not complete.*
> >
> > So I gave it as a conjecture (see the last comment):
> >
> > http://oeis.org/history/view?seq=A121707&v=35
> >
> > http://oeis.org/draft/A121707
> >
> > Thomas Ordowski
> > ____________________
> > (*) It must be proved that
> > odd numbers n>1 divides 1^(n-1)+2^(n-1)+...+(n-1)^(n-1)
> > if and only if p-1 does not divide n-1 for every prime p dividing n.
> >
> >
> > 2018-07-20 11:13 GMT+02:00 Ami Eldar <amiram.eldar at gmail.com>:
> >
> > > Anti-Lucas-Carmichael numbers: 4, 6, 9, 10, 12, 16, 18, 21, 22, 24, 25,
> > 28,
> > > 30, 33, 34, 36, 40, 42, 45, 46, 48, 49, 52, 54, 55, 57, 58, 60, 64, 66,
> > 69,
> > > 70, 72, 76, 77,
> > > 78, 81, 82, 84, 85, 88, 90, 91, 93, 94, 96, 100, ...
> > > They are analogous to A121707 as A006972 is analogous to A002997.
> > >
> > > The are also numbers that are both Anti-Carmichael and
> > > Anti-Lucas-Carmichael: 55, 77, 115, 161, 187, 203, 209, 221, 235, 247,
> > 253,
> > > 295, 299, ..
> > > They are analogous to Williams numbers (numbers that are both
> Carmichael
> > > and Lucas-Carmichael).
> > >
> > > None of these sequences are in OEIS. The last one (Williams numbers) is
> > not
> > > there since there is no known example...
> > >
> > > Ami
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > On Fri, Jul 20, 2018 at 11:38 AM, Tomasz Ordowski <
> > > tomaszordowski at gmail.com>
> > > wrote:
> > >
> > > > Dear Ami,
> > > >
> > > > thank you for your interest in the topic.
> > > >
> > > > Are your anti-Lucas-Carmichael numbers in the OEIS?
> > > >
> > > > Can you give me the first few such numbers?
> > > >
> > > > Maybe their density D = 1/zeta(2) = 6/pi^2.
> > > >
> > > > Best regards,
> > > >
> > > > Thomas
> > > >
> > > > P.S. By the way: https://oeis.org/draft/A121707
> > > >
> > > >
> > > > 2018-07-20 0:24 GMT+02:00 Ami Eldar <amiram.eldar at gmail.com>:
> > > >
> > > > > What about the Anti-Lucas-Carmichael numbers: numbers n such that
> p+1
> > > > non |
> > > > > n+1 for every prime p | n.
> > > > > It seems that their density is D > 0.6.
> > > > >
> > > > > On Thu, Jul 19, 2018 at 2:48 PM, Tomasz Ordowski <
> > > > tomaszordowski at gmail.com
> > > > > >
> > > > > wrote:
> > > > >
> > > > > > Dear SeqFan!
> > > > > >
> > > > > > See http://oeis.org/A121707.
> > > > > >
> > > > > > Here's a simple definition of these numbers:
> > > > > >
> > > > > > Numbers n such that p-1 does not divide n-1 for every prime p
> > > dividing
> > > > n.
> > > > > >
> > > > > > PROOF.
> > > > > >
> > > > > > Carmichael numbers: composite n coprime to
> > > > 1^(n-1)+2^(n-1)+...+(n-1)^(n-
> > > > > > 1).
> > > > > >
> > > > > > Anti-Carmichael numbers: n such that p-1 non | n-1 for every
> prime
> > p
> > > |
> > > > n.
> > > > > >
> > > > > >  Odd numbers n>1 such that n | 1^(n-1)+2^(n-1)+...+(n-1)^(n-1).
> > (**)
> > > > > >
> > > > > > Equivalently: Numbers n>1 such that n^3 | 1^n+2^n+...+(n-1)^n.
> (*)
> > > > > >
> > > > > > Cf. http://oeis.org/A121707 (see conjecture in the second
> > comment).
> > > > > >
> > > > > > Professor Schinzel (2015) proved the equivalence (*) <=> (**).
> QED.
> > > > > >
> > > > > > Problem: What is the natural density D of the set of these
> numbers?
> > > > > >
> > > > > > Can be proved that 0.1 < D < 0.3.  My conjecture: D = 2/pi^2.
> > > > > >
> > > > > > Sincerely,
> > > > > >
> > > > > > Tomasz Ordowski
> > > > > > ______________
> > > > > > Szanowny Panie,
> > > > > > Podzielność (*) n^3|1^n+...+(n-1)^n=S_n(n) wymaga żeby n było
> > > > > nieparzyste,
> > > > > > bowiem z 2^a|n (a>0) wynika S_n(n)= n/2 mod 2^(a+2). Zatem (*)
> jest
> > > > > > rownoważna  podzielności n^3|(1^n+(n-1)^n)+(2^n+(n-2)^
> > > > > > n)+...+((n-1)^n+1^n).
> > > > > > Ale przy n nieparzystym dla każdego i :i^n+(n-i)^n=n^2*i^(n-1),
> > zatem
> > > > > > podzielność (*) jest rownoważna podzielności (**) n|S_(n-1)(n). Z
> > > > drugiej
> > > > > > strony podzielność (**) i warunek 4 nie dzieli n wymagają
> > > > nieparzystości
> > > > > n.
> > > > > > Lącze pozdrowienia.
> > > > > >                 Andrzej Schinzel
> > > > > >
> > > > > > --
> > > > > > Seqfan Mailing list - http://list.seqfan.eu/
> > > > > >
> > > > >
> > > > > --
> > > > > Seqfan Mailing list - http://list.seqfan.eu/
> > > > >
> > > >
> > > > --
> > > > Seqfan Mailing list - http://list.seqfan.eu/
> > > >
> > >
> > > --
> > > Seqfan Mailing list - http://list.seqfan.eu/
> > >
> >
> > --
> > Seqfan Mailing list - http://list.seqfan.eu/
> >
>
> --
> Seqfan Mailing list - http://list.seqfan.eu/
>