<HTML><BODY><DIV style='font-family: "Verdana"; font-size: 10pt;'><DIV>

<DIV>That is an outline of a valid proof of divergence, but it really has nothing to do with the posted incorrect proof.</DIV>

<DIV> </DIV>

<DIV>Franklin T. Adams-Watters<BR>16 W. Michigan Ave.<BR>Palatine, IL 60067<BR>847-776-7645</DIV>

<DIV> </DIV> <BR>-----Original Message-----<BR>From: Richard Guy <rkg@cpsc.ucalgary.ca><BR>To: Rob Arthan <rda@lemma-one.com><BR>Cc: santi_spadaro@virgilio.it; franktaw@netscape.net; hv@crypt.org; seqfan@ext.jussieu.fr<BR>Sent: Tue, 13 Dec 2005 13:52:07 -0700 (MST)<BR>Subject: Re: slightly OT: harmonic series revisited...<BR><BR>

<STYLE>

.AOLPlainTextBody {

    margin: 0px;

    font-family: Tahoma, Verdana, Arial, Sans-Serif;

    font-size: 12px; 

    color: #000; 

    background-color: #fff; 

}

.AOLPlainTextBody pre {

    font-size: 9pt;

}

.AOLInlineAttachment {

    margin: 10px;

}

.AOLAttachmentHeader {

    border-bottom: 2px solid #E9EAEB;

    background: #F9F9F9;

}

.AOLAttachmentHeader .Title {

    font: 11px Tahoma;

    font-weight: bold;

    color: #666666;

    background: #E9EAEB; 

    padding: 3px 0px 1px 10px;

}

.AOLAttachmentHeader .FieldLabel {

    font: 11px Tahoma; 

    font-weight: bold;

    color: #666666;

    padding: 1px 10px 1px 9px;

}

.AOLAttachmentHeader .FieldValue {

    font: 11px Tahoma; 

    color: #333333;

}

</STYLE>

<DIV class=AOLPlainTextBody id=AOLMsgPart_0_389db7c8-e163-4197-9ab8-b9bd41e7c705>Have come into this rather late, so apologize  if this is old hat. The nth partial sum is  c1 \ln n - c2 \ln\ln n, regardless of  ordering, which can only affect c1 and c2,  for which trivial bounds suffice.    R.    On Tue, 13 Dec 2005, Rob Arthan wrote:    >  > On 13 Dec 2005, at 17:46, Rob Arthan wrote:  >  >> On Tuesday 13 Dec 2005 2:45 pm, <A href="mailto:franktaw%40netscape.net">franktaw@netscape.net</A> >> wrote:  >>> Actually, that argument doesn't quite work. The >>> convergence of the  >>> original sequence is conditional, not absolute, so you >>> can't arbitrarily  >>> reorder the terms and draw any conclusions about >>> convergence.  >> >> But the reordering is har!

mless here. Hugo's argument >> gives diverging lower  >> bound for the sum of the a_n from 1 to 6p (since the >> reordered subsequence  >> contains all the negative terms).  >  > And I was having a mental aberration at the time I wrote > it. The reordering is not obviously harmless and it isn't > obvious (at least to me) how to get a rigorous argument > out of Hugo's estimate.  >  > Apologies,  >  > Rob.  >> >>> -----Original Message-----  >>> From: Rob Arthan <<A href="mailto:rda%40lemma-one.com">rda@lemma-one.com</A>>  >>> To: <A href="mailto:hv%40crypt.org">hv@crypt.org</A>; <A href="mailto:santi_spadaro%40virgilio.it">santi_spadaro@virgilio.it</A> >>> <<A href="mailto:santi_spadaro%40virgilio.it">santi_spadaro@virgilio.it</A>>  >>> Cc: <A href="mailto:seqfan%40ext!

 .jussieu.fr">seqfan@ext.jussieu.fr</A> <BR>>>> Sent: Tue

, 13 Dec 2005 13:19:12 +0000 <BR>>>> Subject: Re: slightly OT: harmonic series revisited... <BR>>>> >>> On Tuesday 13 Dec 2005 12:26 pm, <A href="mailto:hv%40crypt.org">hv@crypt.org</A> wrote: <BR>>>>> "<A href="mailto:santi_spadaro%40virgilio.it">santi_spadaro@virgilio.it</A>" >>>> <<A href="mailto:santi_spadaro%40virgilio.it">santi_spadaro@virgilio.it</A>> wrote: <BR>>>>> :Anybody knows an answer (and a neat way to show that >>>> the answer is <BR>>>>> :true)? <BR>>>>> : <BR>>>>> :"Define a_n = 1/n if n is composite and a_n = -(1/n) >>>> if n is <BR>>>>> :prime. Does the series of a_n (sum from n to infinity >>>> of a_n) diverges?" <BR>>>>> >>>> If P diverges, consider the set {p, 2p, 3p, 4p, 6p}; >>>> this avoids <BR>>>>> col!

 lisions for all odd primes p, and the contribution >>>> to A for these 5 <BR>>>>> numbers is (-1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6)/p = 1/4p, so A >>>> > P/4, and so A <BR>>>>> again diverges. <BR>>>> >> >> >> > <BR></DIV><!-- end of AOLMsgPart_0_389db7c8-e163-4197-9ab8-b9bd41e7c705 --></DIV></DIV>

<hr style="MARGIN-TOP:10px" >

<b>Try the New Netscape Mail Today!</b><br />

Virtually Spam-Free | More Storage | Import Your Contact List<br /><a  href="http://mail.netscape.com">http://mail.netscape.com</a>

</BODY></HTML>