<DIV>Not so unlikely! The two conditions are completely equivalent. </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Condition (2) can be rewritten as </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>x*A(x)=f^(-1)(x), </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>where f(x)=x*A(-x). Applying f to both sides gives </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>f(x*A(x))=x </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>or </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>x*A(x)*A(-x*A(x))=x, </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>which immediately gives condition (1): </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>A(x) = 1/A(-x*A(x)).</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Actually, substituting a general series A(x)=a_0 + a_1*x + a_2*x^2 +... </DIV>
<DIV>into either functional equation (1) or (2), one finds that the even terms are </DIV>
<DIV>uniquely determined at each order by the previous ones, but the odd terms are </DIV>
<DIV>arbitrary. So any formal series of the form  </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>A(x)=1 + a_1*x + a_1^2*x^2 + a_3*x^3  + (3*a_1*a_3-2*a_1^4)*x^4 + a_5*x^5 </DIV>
<DIV>+  (4*a_1*a_5+2*a_3^2-18*a_1^3*a_3+13*a_1^6)*x^6 + a_7*x^7 + ... </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>satsifies the functional equation. </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>The case you are interested in corresponds to a_1=1, a_3=2, a_5=7, a_7=24,... </DIV>
<DIV>so some other consistent functional relation would be needed to uniquely </DIV>
<DIV>determine the particular series </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>1+x+x^2+2*x^3+4*x^4+7*x^5+13*x^6+24*x^7+42*x^8+... </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Andy </DIV>
<DIV> <BR><BR>----- Original Message -----<BR>From: franktaw@netscape.net<BR>Date: Tuesday, May 9, 2006 7:24 pm<BR>Subject: Re: Conjugate m-dimensional partitions<BR>To: seqfan@ext.jussieu.fr<BR><BR>> It does seem unlikely.<BR>>  <BR>> Is there a unique sequence that satisfies these two <BR>> conditions?  If so, I would think it a worthwhile thing to <BR>> add to the OEIS.  (If it's not there already - it might be <BR>> A002547.) <BR>> Franklin T. Adams-Watters<BR>> <BR>> -----Original Message-----<BR>> From: Paul D Hanna pauldhanna@juno.com<BR>> <BR>> <BR>> Franklin, <BR>>      BTW, should *both* of those conditions <BR>> continue to hold <BR>> (I would be surprised),  the next term is required to <BR>> be:  42.<BR>>  <BR>> Paul<BR>>  <BR>> -- "Paul D Hanna" <pauldhanna@juno.com> wrote:<BR>> Franklin (and seqfans),<BR>>     Perhaps this is just coincidence, <BR>> but so far the g.f. A(x) of the terms<BR>> > 1,1,1,2,4,7,13,24 <BR>>  <BR>> satisfies these 2 relations: <BR>>  <BR>> (1) A(x) = 1/A(-x*A(x))<BR>>   <BR>> (2) x*A(x) = series_reversion(x*A(-x))<BR>>  <BR>> It would be curious (since unlikely) if these trends continue.<BR>> <BR>> Paul<BR>> ___________________________________________________<BR>> Try the New Netscape Mail Today!<BR>> Virtually Spam-Free | More Storage | Import Your Contact List<BR>> http://mail.netscape.com<BR>> </DIV>