Here's a sequence definition and a conjecture about it, which makes me
ask, what do you do with such a thing (beyond proving the conjecture,
of course, and even then there's a problem.)<br>
<br>
Let f_1 = z, and f_n = f_(n-1)^2 + z. Now define the nth Mandelbrot
curve, M_n, as the curve in the real plane defined by the complex
equation |f_n(z)| = 1. That is, substututing both x+iy for z, and x-iy
for z, and multiplying, obtain a polynomial in x and y G_n of degree
2^{n+1), and then the Mandelbrot curve is G_n = 1. The reason for
bringing it up is that it converges to the boundry of the Mandelbrot
set.<br>
<br>
The genus of a nonsingular plane curve of degree 2^(n+1) is<br>
(2^n-1)(2^(n+1)-1). I'm conjecuring, based on the first five
values,that the correct genus for the Mandelbrot curve is (2^n-1)^2,
for a sequence 0,1,9,49,225, ... which isn't in the sequence directory,
but could be--except that its pretty short!<br>
<br>
However, I have a fix in mind for it being short.I think I can prove this (the curve seems to have an ordinary<br>
2^n-fold point, and no other singularities.) In that case the sequence
could go into the sequence database, but now--do you rely on my proof?
What am I supposed to do here? This *does* strike me as an interesting
sequence!<br>