<br><br><div><span class="gmail_quote">On 6/11/06, <b class="gmail_sendername">Gerald McGarvey</b> <<a href="mailto:Gerald.McGarvey@comcast.net">Gerald.McGarvey@comcast.net</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">
Based on a laborious semi-manual process (not recommended) of<br>narrowing down the maximum, I believe the maximum of ?(x)-x<br>occurs at a constant c whose continued fraction begins<br>[0; 1, 3, 1, 4, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 4,
<br>1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 4, 1,<br>4, 1, 4, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, ...</blockquote><div><br>
I think the process would be more expeditious if you used the 
Conway box function instead, which is easy to compute exactly for
dyadic rationals--meaning N/2^m type numbers.<br>
The question of the maximum of ?(x)-x is the same as the<br>
question of the maximum of x-box(x), where box, the Conway box
function, is the inverse ? function. If x is a level m dyadic rational,
that is, N/2^m, then I think by comparing<br>
f(x) = x-box(x) for the values x, x+2^(-m-1), x-2^(-m-1) you should be able to determine the maximum more easily.<br>
 </div><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;"><br>Has it be proven that ?(x) + ?(1-x) = 1 for all x?</blockquote><div><br>
<br>
Yes. <br>
</div><br></div><br>