<div><font face="arial,sans-serif">A comment to A001969 is: "Gelfond conjectured that this sequence has asymptotic density 1/2."</font></div>
<div><font face="arial,sans-serif">Is this one still unproved? </font>I searched on the Internet but I did not found any reference that such a proof exists.</div>
<div> </div>
<div><font face="arial,sans-serif">Clearly, 2n+1 is in the sequence iff 2n is not.</font></div>
<div><font face="arial,sans-serif">But this proves only the fact that the sequence contains the same number of "evil even" numbers with the number of "odious(not evil) odd" numbers. So if you argue only this as a proof I think it is clearly wrong!
</font></div>
<div><font face="arial,sans-serif">However this is the first brick of my easy proof...</font></div>
<div><font face="arial,sans-serif"></font> </div>
<div><font face="arial,sans-serif">Consider p as the probability that an integer is evil.</font></div>
<div><font face="arial,sans-serif">Any even number as binary is ...xxx0 meanwhile for an odd we have ...xxx1 where ...xxx covers all the binaries, too.</font></div>
<div><font face="arial,sans-serif">So the probability for an integer to be an "evil even" number is 1/2 p and for an "evil odd" number is 1/2 (1-p), hence:</font></div>
<div><font face="arial,sans-serif">1/2 p + 1/2 (1-p) = p, then we conclude p = 1/2.</font></div>
<div> </div>
<div><font face="arial,sans-serif">In fact my first proof it was to split all the integers like:</font></div>
<div>...0 -> 1/2                   n evil iff n+1 not evil</div>
<div>...01 -> 1/4                 n evil iff n+1 evil too</div>
<div>...011 -> 1/8               n evil iff n+1 not evil</div>
<div>...0111 -> 1/16           n evil iff n+1 evil too</div>
<div>......</div>
<div>1/2 (1-p) + 1/4 p + 1/8 (1-p) + 1/16 p + ... = p</div>
<div>(1/2 + 1/8 + 1/32 + ...)(1-2p) = 0 then p = 1/2.</div>
<div> </div>
<div>Please correct me if I am wrong.</div>
<div> </div>
<div>Regards,</div>
<div>Dan</div>
<p><font face="arial,sans-serif"> </font></p>
<div><br><br> </div>
<div><span class="gmail_quote">On 8/23/06, <b class="gmail_sendername"><a onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)" href="mailto:franktaw@netscape.net" target="_blank">franktaw@netscape.net</a></b> <<a onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)" href="mailto:franktaw@netscape.net" target="_blank">
franktaw@netscape.net</a>> wrote:</span> 
<blockquote class="gmail_quote" style="PADDING-LEFT: 1ex; MARGIN: 0px 0px 0px 0.8ex; BORDER-LEFT: #ccc 1px solid">Sequence A001969 (the "evil" numbers, those with an even number of 1's<br>in their binary representation) has a comment: "Gelfond conjectured 
<br>that<br>this sequence has asymptotic density 1/2."  I'm sure Gelfond was smart<br>enough to notice that 2n+1 is in the sequence iff 2n is not; and to<br>realize<br>that any sequence which contains exactly 1 of 2n and 2n+1 has 
<br>asymptotic<br>density 1/2.<br><br>So what should this comment really be?  Did Gelfond make his conjecture<br>about some similar sequence?  Did he arrive at this sequence in some<br>very<br>different way, so that it wasn't clearly this sequence?  Or did he 
<br>actually<br>prove it - or just state it as obvious - and somebody misread it as a<br>conjecture?<br><br>Franklin T. Adams-Watters<br><br></blockquote></div><br>