I'd like some feedback on a class of sequences I'm working on. 
They are generated by a (virtual)  2-dimensional Turing
machine.  Let me start with some involving prime factorization.
All have, in common, a counter starting with 1 (which becomes the n in
the sequences), and a cursor (read/write head) located in an initially
blank square lattice, i.e. integer-valued Cartesian space.<br>
<br>
(device #1)<br>
<br>
(1) start with cursor at origin, and count = 1.<br>
(2) write the number where the cursor is.<br>
(3) Add 1 to the counter.<br>
(4) Find the prime factorization of the counter.<br>
(5) If counter is prime, move cursor to first empty space to the Right, go to statement (2).<br>
(6) Else if counter is semiprime, move cursor to first empty space to the Left, go to statement (2).<br>
(7) Else move cursor Up to first empty space, go to statement (2).<br>
<br>
Through n = 62 we have the following 2-D array of numbers produced:<br>
<br>
__,__,58,57,56,59<br>
__,__,__,__,55,54<br>
__,__,__,__,52,53<br>
__,__,__,__,51,50<br>
__,__,__,__,__,49,48<br>
__,__,__,__,46,45,47<br>
__,__,__,__,__,44<br>
__,__,__,__,42,43<br>
__,__,__,40,41<br>
__,__,__,39,38,36,37<br>
__,__,__,__,__,35,34,33,32<br>
__,__,__,__,__,__,__,30,31<br>
__,__,__,__,__,__,28,29<br>
__,__,__,__,__,__,27<br>
__,__,__,__,__,__,26,25,24<br>
__,__,__,__,__,22,21,20,23<br>
__,__,__,__,__,__,18,19<br>
__,__,__,__,__,16,17<br>
__,__,__,__,__,15,14,12,13<br>
__,__,__,__,10,09,08,11<br>
6,4,01,02,03,05,07<br>
<br>
This never moves Down.  It is not a random walk, but may be
measured by means typical of random walk theory.  One can ask
approximately, and asymptotically, what is the position of the cursor
along the x and y axes at time = n.  One can flatten it to the 1-D
sequence of DistanceSquared from origin a(n) = 0, 1, 4, 1, 9, 4, 16,
17, 10, 5, 26, 29, ... One can differentiate to get velocity vector of
the cursor.<br>
<br>
One can project the shape to the sequence of number of values on nth
row, starting at row containing origin = b(n) = 7, 4, 4, 2, 2, 4, 3, 1,
2, 2, 4, 4, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 4, ...<br>
<br>
(device #2)<br>

<br>

(1) start with cursor at origin, and count = 1.<br>

(2) write the number where the cursor is.<br>

(3) Add 1 to the counter.<br>

(4) Find the prime factorization of the counter.<br>

(5) If counter is prime, move cursor to first empty space to the Right, go to statement (2).<br>

(6) Else if counter is semiprime, move cursor to first empty space to the Left, go to statement (2).<br>

(7) Else if counter is 3-almost prime, move cursor Up to first empty space, go to statement (2).<br>
(8) Else (counter is k-almost prime for k>3) move cursor Down to first empty space, go to statement (2).<br>
<br>
By n = 55 we see:<br>
<br>
__,__,__,__,__,__,30,31<br>
__,__,__,__,__,28,29<br>
__,__,__,__,__,27,22,21,20,23<br>
__,__,__,__,52,26,25,18,19,24,53<br>
__,__,__,55,51,50,15,14,13,54<br>
__,__,__,__,__,10,09,08,11<br>
46,06,04,01,02,03,05,07,45,47<br>
__,__,__,__,__,__,49,16,17,44,48<br>
__,__,__,__,42,35,34,33,32,43<br>
__,__,__,39,38,36,37<br>
__,__,__,40,41<br>
__,__,58,57,56,59<br>
<br>
Asymptotically, this moves mostly Down.  DistanceSqaured(n) = 0,1,4,1,9,4,16,17,10,5,26,29,40,20,13,10,17,25,34,41,32,29,52<br>
where 17 is a fixed point.<br>
<br>
This relates to the 2-D flow of control programminglanguage SNUSP, for which definition, interpreter, compiler exist online.<br>
<br>
I'll stop email here, before getting to the devices based on number of
distinct factors, and the class of devices that move R,L,U,D depending
on value mod 4 of sequences from OEIS, of which I first did a rigid
example, a silly example with length of english name of n, and some
others.<br>
<br>
This is a way of getting a 2-D graphic from almost any OEIS sequence.<br>
<br>
I cannot easily show here some 3-D Turing machines I've played with.<br>
<br>
My son has some clever questions about the inverse problem (inferring
th rules from the 2-D sequence), and what happens if one can overwrite
or erase (which lead quickly to noncomputable situations).<br>
<br>
Any comments on this, and its suitability for OEIS, and some more citations?<br>
<br>
Best,<br>
<br>
Jonathan Vos Post<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>