Eisenstein-Fibonacci sequences.  Cube root of unity<br>
analogues of square-root of unity A014291  Imaginary<br>
Rabbits.<br>
<br>
Let b(0) = w, b(1) = w^2, b(n) = w*b(n-1) + b(n-2),<br>
where w = omega = (-1 + i*sqrt(3))/2 and w^2 = omega^2<br>
= (-1 - i*sqrt(3))/2.<br>
<br>
There are various integer sequences derived from this<br>
complex sequence (such as the real part, the imaginary<br>
part, the polynomial coefficient is of 1, w, and<br>
w^2)Unless my arithmetic by hand is in error again,<br>
is:<br>
<br>
n   b(n)<br>
0   w<br>
1   w^2<br>
2   w(w^2) + w = w^3 + w = 1 + w.<br>
3   w(1 + w) + w^2 = w + w^2 + w^2 = 1 + 2w^2.<br>
4   w(1 + 2w^2) + 1 + w = w + 2w^3 + 1 + w = 3 + 2w.<br>
5   w(3 + 2w) + 1 + 2w^2 = 3w + 2w^2 + 1 + 2w^2.<br>
    = 1 + 3w + 4w^2.<br>
6  w(1 + 3w + 4w^2) + 3 + 2w = w + 3w^2 + 4w^3 + 3 +<br>
2w<br>
    = 7 + 3w + 3w^2.<br>
7  w(7 + 3w + 3w^2) + 1 + 3w + 4w^2 = 7w + 3w^2 + 3w^3<br>
<br>
   + 1 + 3w + 4w^2 = 4 + 10w + 7w^2.<br>
8  w(4 + 10w + 7w^2) + 7 + 3w + 3w^2 = 4w + 10w^2 +<br>
   7w^3 + 7 + 3w + 3w^2 = 14 + 7w + 13w^2.<br>
9  w(14 + 7w + 13w^2) + 4 + 10w + 7w^2 = 14w + 7w^2 +<br>
   13w^3 + 4 + 10w + 7w^2 = 17 + 24w + 14w^2.<br>
10 w(17 + 24w + 14w^2) + 14 + 7w + 13w^2 = 17w + 24w^2<br>
   + 14w^3 + 14 + 7w + 13w^2 = 28 + 24w + 37w^2.<br>
11 w(28 + 24w + 37w^2) + 17 + 24w + 14w^2 = 28w +<br>
   24w^2 + 37w^3 + 17 + 24w + 14w^2 = 54 + 52w +<br>
38w^2.<br>
12 w(54 + 52w + 38w^2) + 28 + 24w + 37w^2 = 54w +<br>
   52w^2 + 38w^3 + 28 + 24w + 37w^2 = 66 + 78w +<br>
89w^2.<br>
13 w(66 + 78w + 89w^2) + 54 + 52w + 38w^2 =<br>
   66w + 78w^2 + 89w^3 + 54 + 52w + 38w^2 =<br>
   143 + 118w + 116w^2.<br>
14 w(143 + 118w + 116w^2) + 66 + 78w + 89w^2 =<br>
   143w + 118w^2 + 116w^3 + 66 + 78w + 89w^2 =<br>
   182 + 221w + 207w^2.<br>
15 w(182 + 221w + 207w^2) + 143 + 118w + 116w^2 =<br>
   182w + 221w^2 + 207w^3 + 143 + 118w + 116w^2 =<br>
   350 + 300w + 337w^2.<br>
<br>
The coefficients of 1 = a(n) = 0, 0, 1, 1, 3, 1, 7, 4,<br>
14, 17, 28, 54, 66, 143, 182, 350, ...<br>
<br>
which does not seem to be in OEIS.<br>
<br>
To excerpt my comment in A107890 (and some other<br>
seqs):<br>
<br>
"Eisenstein integers are of the form a + b*omega,<br>
where a and b are ordinary integers, and omega = (-1 +<br>
i*sqrt(3))/2 is a cube root of 1, the other cube roots<br>
of 1 being 1 and omega^2 = (-1 - i*sqrt(3))/2.<br>
Eisenstein integers are complex numbers that are also<br>
members of the imaginary quadratic field Q(sqrt -3) =<br>
Z[omega]. The sums, differences, and products of<br>
Eisenstein integers are other Eisenstein integers."<br>
<br>
Other sequences come from:<br>
b(0) = w, b(1) = w^2, b(n) = b(n-1) + w*b(n-2),<br>
and from the O, J notation of Dörrie (1965) in<br>
Weisstein, Eric W. "Eisenstein Integer." From<br>
MathWorld--A Wolfram Web Resource.<br>
<a onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)" href="http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html" target="_blank">http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html</a><br>