Some references that I should give for knotted 3-D self-avoiding walks,

meaning polygons embedded in Z^3, the 3-D integer lattice. Have any of

these been in OEIS?<br>

<br>

<font size="+1">(1) G. Buck, Four-thirds Power Law for <span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">Knots</span> and Links,

Nature, 392 (1998), pp. 238-239.<br>

</font><font size="-1"><span class="a"><a href="http://www.anselm.edu/academic/mathematics/Bucknature4-3F.pdf">www.anselm.edu/academic/mathematics/Bucknature4-3F.pdf</a> </span></font><br>

<font size="+1"><br>

(2) </font><span class="m">....to hold in cases where restrictions are placed on the number of edges per branch in a graph embedding. <b>Key</b> words. <span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"><span style="color: black;">

knots</span></span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">, graph embeddings, branched polymer, simple cubic </span><span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">lattice</span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">

.</span> <b>AMS</b>(MOS) subject classifications. 82B41,57M25,05C10,05C80,05C30. 1. <b>Introduction</b>. <b> In 1988 Sumners and Whittington <font color="green">[1]</font> investigated questions about knottedness of a closed curve of given length embedded in the three dimensional 

<b style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">integer</b><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> </span><b style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">lattice</b>, Z 3 .</b> They and, independently, Pippenger [2] showed that sufficiently long closed curves embedded in Z 3 are almost surely knotted. 

Soteros, Sumners and Whittington ....

<br><br>

....than for Z 3 or the slab geometries. The second

question posed above is addressed here by studying the probability that

an embedding of a simple closed curve, i.e. a self avoiding polygon,

confined to a particular <span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">lattice</span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> subset is knotted. </span><b style="background-color: rgb(255, 255, 255);">

 This probability has been studied previously in <font color="green">[1,4]</font> and the results from these works are reviewed here.</b><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> It is shown that the probability is dependent on the 

</span><span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">lattice</span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> subset.</span> The

knottedness of embeddings of graphs in Z 3 has been previously

investigated in [3,5] and the results from these works are reviewed and

generalized further here.....

<br> <br><br>

<font style="color: rgb(0, 0, 0);" color="#999999">D.W. Sumners and S.G. Whittington,<span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> </span><i style="background-color: rgb(255, 255, 255);">Knots in self-avoiding walks

</i><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">, J. Physics A: Math. Gen., 21 (1988), pp. 1689--1694. </span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">KNOTS</span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">

 </span>IN GRAPHS IN SUBSETS OF Z 3 33</font></span><br>

<font size="+1"><br>

<br>

</font><br><div><span class="gmail_quote">On 10/25/06, <b class="gmail_sendername">Jonathan Post</b> <<a href="mailto:jvospost3@gmail.com">jvospost3@gmail.com</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

I'm impressed by Richard Mathar's exposition.  Dr. George Hockney

should be flattered that he's been corrected by Richard Guy! I should

be dubious about anything asserted to me by a baseball fan during a

World Series game. <br>

<br>

I've also played with self-avoiding walks, and wonder how Richard

Mathar's approach works for polygons embedded in the 3-D integer

lattice, some results of which are known in Knot Theory, both for short

walks and for sufficiently long walks.  For example, almost all

self-avoiding walks in the 3-D integer lattice which start and end at

(0, 0, 0) are knotted. Of course, polygons embedded in the 4-D integer

lattice cannot be knotted.<br>

<br>

-- Jonathan Vos Post<div><span class="e" id="q_10e80754802e231e_1"><br><br><div><span class="gmail_quote">On 10/25/06, <b class="gmail_sendername">Richard Guy</b> <<a href="mailto:rkg@cpsc.ucalgary.ca" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">

rkg@cpsc.ucalgary.ca</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

max area of 1,1,2,2 quad is cyclic, a kite<br>formed by 2 right triangles with legs 1 & 2,<br>area 2.      R.<br><br>On Tue, 24 Oct 2006, Jonathan Post wrote:<br><br>> Dr. George Hockney (ex-Fermilab, now JPL)<br>

> responded to my suggestion that

<br>> the representative of each equivalence class of<br>> deformed polygons with the<br>> same edge-sequences be that with largest area<br>> that: (1)  this might not be<br>> unique, and (2) that the maximum area (1, 1, 2, 2)

<br>> quadrilateral is the<br>> (1+1=2, 2, 2) equilateral triangle of area sqrt 3,<br>> where the two edges of<br>> length 1 make an angle of 180 degrees, and asks if<br>> that equilateral triangle<br>> with a vertex in the middle of its side is really

> a quadrilateral, or is > that another ambiguity in equivalence of polygons > under geometrical > similarity? He is also dubious that the > integer-edged polygonal knots in R^3 > are really polygons, as I've stated.

<br>><br>> I agree with David Wilson's sequence.  What about<br>> a sequence table of<br>> maximal areas of all simple integer-sided k-gons<br>> of perimeter n?<br>><br>> -- Jonathan Vos Post<br>>

<br>

> On 10/24/06, David Wilson<br>> <<a href="mailto:davidwwilson@comcast.net" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">davidwwilson@comcast.net</a>> wrote:<br>>><br>>> And we should have a sequence that counts all

<br>>> simple integer-sided

<br>>> polygons<br>>> of perimeter n. Depending on exactly what we are<br>>> counting, the sequence<br>>> might go:<br>>><br>>> a(3) = 1, the 1-1-1 triangle.<br>>> a(4) = 1, the 1-1-1-1 quadrilateral.

<br>>> a(5) = 3, the 1-2-2 triangle, 1-1-1-2<br>>> quadrilateral, the 1-1-1-1-1<br>>> pentagon.<br>>><br>>> etc.<br>>><br>>><br>><br></blockquote></div><br>

</span></div></blockquote></div><br>