Good place to start is:<br>

<font size="2">Ivars Peterson's</font><font size="2">

<strong style="font-weight: normal;">MathTrek</strong></font> 

<p><font size="2"> November 3, 1997</font></p>

<p>

</p>

<h1 style="font-weight: normal;"><font size="2">Knotted Walks</font></h1>

<a href="http://www.maa.org/mathland/mathtrek_11_3.html">http://www.maa.org/mathland/mathtrek_11_3.html</a><br>

<br>

Oh, and nice illustrations in:<br>

<br>

Discrete Knots<br>

by <a href="http://www.hewwolff.org/">Hew Wolff</a><br>

<p><a href="http://www.jansteckel.com/Hew/WebSite/DiscreteKnots/index.html">http://www.jansteckel.com/Hew/WebSite/DiscreteKnots/index.html</a><br>

</p>

<p>

An <i>orthogonal discrete knot</i> is a path through the lattice of

integer-valued points and orthogonal edges between them, which never

visits the same point twice and ends where it starts. 

Two knots are equivalent if, when they are realized with pieces of stretchy string, we can move one around to look like the other.

(Also, we consider mirror images to be the same knot.) 

Naturally we

are interested in knots which are not <i>trivial</i>, that is, equivalent 

to a simple circle.

Here are some questions about making these knots as small as possible....

</p>

<br><br><div><span class="gmail_quote">On 10/26/06, <b class="gmail_sendername">Jonathan Post</b> <<a href="mailto:jvospost3@gmail.com">jvospost3@gmail.com</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

Some references that I should give for knotted 3-D self-avoiding walks,

meaning polygons embedded in Z^3, the 3-D integer lattice. Have any of

these been in OEIS?<br>

<br>

<font size="+1">(1) G. Buck, Four-thirds Power Law for <span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">Knots</span> and Links,

Nature, 392 (1998), pp. 238-239.<br>

</font><font size="-1"><span><a href="http://www.anselm.edu/academic/mathematics/Bucknature4-3F.pdf" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">www.anselm.edu/academic/mathematics/Bucknature4-3F.pdf

</a> </span></font><br>

<font size="+1"><br>

(2) </font><span>....to hold in cases where restrictions are placed on the number of edges per branch in a graph embedding. <b>Key</b> words. <span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"><span style="color: black;">

knots</span></span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">, graph embeddings, branched polymer, simple cubic </span><span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">lattice</span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">

.</span> <b>AMS</b>(MOS) subject classifications. 82B41,57M25,05C10,05C80,05C30. 1. <b>Introduction</b>. <b> In 1988 Sumners and Whittington <font color="green">[1]</font> investigated questions about knottedness of a closed curve of given length embedded in the three dimensional 

<b style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">integer</b><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> </span><b style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">lattice</b>, Z 3 .</b> They and, independently, Pippenger [2] showed that sufficiently long closed curves embedded in Z 3 are almost surely knotted. 

Soteros, Sumners and Whittington ....

<br><br>

....than for Z 3 or the slab geometries. The second

question posed above is addressed here by studying the probability that

an embedding of a simple closed curve, i.e. a self avoiding polygon,

confined to a particular <span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">lattice</span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> subset is knotted. </span><b style="background-color: rgb(255, 255, 255);">

 This probability has been studied previously in <font color="green">[1,4]</font> and the results from these works are reviewed here.</b><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> It is shown that the probability is dependent on the 

</span><span style="color: black; background-color: rgb(255, 255, 255);">lattice</span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> subset.</span> The

knottedness of embeddings of graphs in Z 3 has been previously

investigated in [3,5] and the results from these works are reviewed and

generalized further here.....

<br> <br><br>

<font style="color: rgb(0, 0, 0);" color="#999999">D.W. Sumners and S.G. Whittington,<span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"> </span><i style="background-color: rgb(255, 255, 255);">Knots in self-avoiding walks

</i><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">, J. Physics A: Math. Gen., 21 (1988), pp. 1689--1694. </span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">KNOTS</span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">

 </span>IN GRAPHS IN SUBSETS OF Z 3 33</font></span><div><span class="e" id="q_10e8878708d7928a_1"><br>

<font size="+1"><br>

<br>

</font><br><div><span class="gmail_quote">On 10/25/06, <b class="gmail_sendername">Jonathan Post</b> <<a href="mailto:jvospost3@gmail.com" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">jvospost3@gmail.com

</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

I'm impressed by Richard Mathar's exposition.  Dr. George Hockney

should be flattered that he's been corrected by Richard Guy! I should

be dubious about anything asserted to me by a baseball fan during a

World Series game. <br>

<br>

I've also played with self-avoiding walks, and wonder how Richard

Mathar's approach works for polygons embedded in the 3-D integer

lattice, some results of which are known in Knot Theory, both for short

walks and for sufficiently long walks.  For example, almost all

self-avoiding walks in the 3-D integer lattice which start and end at

(0, 0, 0) are knotted. Of course, polygons embedded in the 4-D integer

lattice cannot be knotted.<br>

<br>

-- Jonathan Vos Post<div><span><br><br><div><span class="gmail_quote">On 10/25/06, <b class="gmail_sendername">Richard Guy</b> <<a href="mailto:rkg@cpsc.ucalgary.ca" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">

rkg@cpsc.ucalgary.ca</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

max area of 1,1,2,2 quad is cyclic, a kite<br>formed by 2 right triangles with legs 1 & 2,<br>area 2.      R.<br><br>On Tue, 24 Oct 2006, Jonathan Post wrote:<br><br>> Dr. George Hockney (ex-Fermilab, now JPL)<br>

> responded to my suggestion that

<br>> the representative of each equivalence class of<br>> deformed polygons with the<br>> same edge-sequences be that with largest area<br>> that: (1)  this might not be<br>> unique, and (2) that the maximum area (1, 1, 2, 2)

<br>> quadrilateral is the<br>> (1+1=2, 2, 2) equilateral triangle of area sqrt 3,<br>> where the two edges of<br>> length 1 make an angle of 180 degrees, and asks if<br>> that equilateral triangle<br>> with a vertex in the middle of its side is really

> a quadrilateral, or is > that another ambiguity in equivalence of polygons > under geometrical > similarity? He is also dubious that the > integer-edged polygonal knots in R^3 > are really polygons, as I've stated.

<br>><br>> I agree with David Wilson's sequence.  What about<br>> a sequence table of<br>> maximal areas of all simple integer-sided k-gons<br>> of perimeter n?<br>><br>> -- Jonathan Vos Post<br>>

<br>

> On 10/24/06, David Wilson<br>> <<a href="mailto:davidwwilson@comcast.net" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">davidwwilson@comcast.net</a>> wrote:<br>>><br>>> And we should have a sequence that counts all

<br>>> simple integer-sided

<br>>> polygons<br>>> of perimeter n. Depending on exactly what we are<br>>> counting, the sequence<br>>> might go:<br>>><br>>> a(3) = 1, the 1-1-1 triangle.<br>>> a(4) = 1, the 1-1-1-1 quadrilateral.

<br>>> a(5) = 3, the 1-2-2 triangle, 1-1-1-2<br>>> quadrilateral, the 1-1-1-1-1<br>>> pentagon.<br>>><br>>> etc.<br>>><br>>><br>><br></blockquote></div><br>

</span></div></blockquote></div><br>

</span></div></blockquote></div><br>