Dear Soren,<br>
<br>
Thank you for a clear and thoughful answer.<br>
<br>
My son (in the room with me now) agrees that baby/childhood play with
Duplo and Lego guided him towards his Math/Computer Science expertise
today.<br>
<br>
He and I agree, however, that it's a shame that the manufacturer
doesn't make 4-D Lego blocks, or, more properly, the ones that they do
make are of extension along the t-axis only in the trivial way, and
cannot be freely rotated in Minkowski space.<br>
<br>
So, I wonder, how well does your approach to counting under symmetry work if extended to an additional spacial dimension?<br>
<br>
I suppose that we can consider an AxBxC 4-D Lego to be actually an
AxBxCx1 Lego in Z^4. I think that adjacency is well-defined, all
rotations are about planes, and there is a relationship to 4-D
analogues of polyominoes, i.e. to polyhypercubes.<br>
<br>
Best,<br>
<br>
Jonathan Vos Post<br><br><div><span class="gmail_quote">On 11/2/06, <b class="gmail_sendername">Søren Eilers</b> <<a href="mailto:eilers@math.ku.dk">eilers@math.ku.dk</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">




<div>
<font face="Arial"><span style="font-size: 12px;">Dear Jonathan<br>
<br>
Thank you, and yes, I think that LEGO inspires kids to learn about fundamental mathematical concepts such as symmetry. <br>
<br>
I've also considered adding crossrefs to the sequences you mentioned but decided against it.<br>
<br>
Regarding A007576: Watson definitely counts a subset of what we count
in A123818, but as you can see in his paper he only looks at "planar"
buildings where all blocks could be placed in, say, [0,2]xRxR. This
means that one of the dimensions of the blocks used is irrelevant, and
Watson could just have well have counted what we call FLAT structures
with 1x2 blocks. Thus, IF one was to crossref I would suggest to do it
to A123764, but perhaps this is a little hard to explain in the limited
space of an OEIS entry.<br>
<br>
But Watson has even more restrictions; he looks only at MAX HEIGHT
buildings with one block at each level. This is exactly what LEGO did
wrong when they claimed that A123828(6)=102981500 [the number they
wanted was (46^5+2^5)/2, but they got the last digit wrong too].<br>
<br>
Of course counting FLAT and MAX HEIGHT structures with 2x2 or 1x2
blocks is easy, the formula is 3^(n-1) or (3^(n-1)+1)/2 depending on
whether or not you want to identify up to symmetry. Watson knows this
and tries to count how many of these structures would tip over if
placed on a flat surface, essentially computing the x-coordinate of the
center of gravity. So I think the kind of LEGO counting done by Watson
is quite different from the kind of LEGO counting we do.<br>
<br>
    {Btw, A007576 is indeed the same as A086821}<br>
    {If somebody was interested I could probably
quite easily compute how many of "our" LEGO buildings are stable in the
sense of Watson}<br>
<br>
Regarding Zeilberger's LEGO counts, they all relate, as far as I recall
from a relatively hard look some time ago, to buildings with blocks of
varying size, and hence are quite different in nature from what we do.
In that case, n is not a number of blocks, but the total volume/weight
of the structure, so that's a very different ball game.<br>
<br>
Best regards,<br>
Soren<span class="q"><br>
<br>
<br>
<br>
 <br>
<br>
On 01/11/06 18:58, "Jonathan Post" <<a href="mailto:jvospost3@gmail.com" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">jvospost3@gmail.com</a>> wrote:<br>
<br>
</span></span></font><blockquote><font face="Arial"><span style="font-size: 12px;"><span class="q">I like the new seqs about Lego, such as<br></span>
A123762 <a href="http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A123762" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)"><http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A123762></a>  <span class="q">
<br>
  Number of ways, counted up to symmetry, to build a contiguous building with n <b>LEGO</b> blocks of size 1x2. <br>
<br></span>
Ironically timed, as <i>"Recent restructuring and production cuts have left Lego unable to fill orders <a href="http://www.cbc.ca/money/story/2006/10/31/legoproduction.html" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">
<http://www.cbc.ca/money/story/2006/10/31/legoproduction.html></a>
for the upcoming holiday season. Affected products include Duplo
bricks, Lego City sets, and (horror of horrors!) Star Wars and Lego
Technik sets."</i> According to the article Lego stands to lose $127 million in holiday sales.<span class="q"><br>
<br>
<a href="http://www.cbc.ca/money/story/2006/10/31/legoproduction.html" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">http://www.cbc.ca/money/story/2006/10/31/legoproduction.html</a><br>
<br>
It might be useful to add crossrefs to earlier seqs such as:<br>
<br></span>
A007576 <a href="http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A007576" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)"><http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A007576></a>  <span class="q">
<br>
  Number of maximally stable towers of 2 X 2 <b>LEGO</b> blocks.<br>
 <br>
 <br></span>
A082679 <a href="http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A082679" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)"><http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A082679></a>  <span class="q">
<br>
  Number of <b>Lego</b>
towers, one piece per floor, where every floor is perpendicular to the
one below it (so we have a kind of 3-dimensional zigzag pattern).  <br>
 -- Jonathan Vos Post<br>
[wondering if my son's earlier intense exposure to Duplo and Lego led him towards his double B.S. in Math and Computer Science]<br>
<br>
</span></span></font></blockquote><font face="Arial"><span style="font-size: 12px;"><br>
</span></font>
</div>



</blockquote></div><br>