First, John Baez agrees that an earlier post of his partially answered
my follow-up question about 2-categories (some assembly required):<br>
<br>
<a href="http://golem.ph.utexas.edu/category/2006/10/klein_2geometry_vi.html#c005157">http://golem.ph.utexas.edu/category/2006/10/klein_2geometry_vi.html#c005157</a><br>
<br>
<div id="c005157" class="comments-body">
<h3 class="title">Re: Klein 2-Geometry VI</h3><p>Tim writes:</p>

<blockquote>

<p>So I'll wrap up and say what I think I've discovered. Just as
finite-dimensional vector spaces and their subspaces are intimately
related to finite sets and their subsets, so finite-dimensional
2-vector spaces and their 2-subspaces are intimately related to finite
graphs and their subgraphs. These are obviously much more complicated
and I'm not at all confident my analyses here are correct, particularly
the identification of the various 2-Grassmannians associated to various
graph maps. The basic idea seems sound though.</p>

</blockquote>

<p>Yeah, that's a great idea!</p>

<p>The way I see it, your fundamental idea is this. There's a 2-functor
from the 2-category of directed graphs to the 2-category of vector
2-spaces (≃ 2-term chain complexes).   And, it goes like this:</p>

<ul><li> 
Any directed graph gives a 2-term chain complex. 
</li><li>
Any map between directed graphs gives a chain map between 2-term chain complexes.  </li><li>
And, there's also a kind of "homotopy between maps between directed
graphs", which gives a chain homotopy between chain maps between 2-term
chain complexes.
</li></ul>

<p>(Do graph theorists ever think about those homotopies?  They should!)</p>

<p>All this generalizes further, to an (n+1)-functor from n-dimensional cell complexes to (n+1)-term chain complexes.</p>

<p>I'm not sure how to get some amazing new insights into projective n-geometry
from this way of thinking - but that's not surprising, since I just
read your post 2 minutes ago. We should mull on it.</p>

<p>Thanks!</p>
<div class="comments-post">Posted by:
<a rel="nofollow" href="http://math.ucr.edu/home/baez/" title="http://math.ucr.edu/home/baez/">John Baez</a> on October  8, 2006  7:25 PM | <br>
<br>
Second, I took Category theory in grad school 1976 or 1977, and forgot
what little I knew, and have relearned only some. So anyone in seqfans
who learned more and remebered more should jump in here, and don't
worry about making me look foolish, as I take the risk of exposing my
ignorance every time I post here.<br>
<br>
If one asks: "how many categories are there with n morphisms and k
objects?" one is asking up to isomorphism. I'm making a first cut here
off the top of my head, which may be no more than an ill-informed guess.<br>
<br>
The sagittal graph of a general morphism a.k.a. homomorphism (not
restricted to a monomorphism, epimorphism, isomorphism, endomorphism,
or automorphism) leaves us wondering what the structure of the objects
are.  I think, by the way that the question is asked, that they
have no structure, i.e. that they are just points. If they have
structure, that affects everything.  unstructrured objects
(points), then we still get different counts if the vertices and arcs
are labeled or unlabeled, and whether one allows loops or not. if the
edges are unlabeled, and loops are allowed, then any of the k objects
can be mapped to any of the k objects including itself, giving k^k, if
n = k.  If n>k then we can 't use more than k of the n because
the mapping must be functional, that is, only one arrow out of each
point (but multiple arrows to a point is allowed).<br>
<br>
 If n<k then the first point can be mapped to any of the k
points, and we run out of arrows when we reach k^n.  Now we see
why labeling matters, as if they are unlabeled, we count only once in
equivalence classes, but if labeled each such mapping is
distinct.  Each loop and arc is de facto labeled by its source
point and target point, as an ordered pair.  If you want to allow
other labels, you have to multiply by the proper combinational
multiplier.<br>
<br>
So we're taking a summation of n=0 (just the k points and none map to
any), n=1 (one of k points maps to one of k), n=2 and so forth.<br>
<br>
That starts the answer.  For k=n and any point can map to any, we
have the count of endomorphisms being the same as the count of
endofunctions already in OEIS. <br>
<br>
Category theory has differing approaches depending on whether we have
digraphs, multgraphs,  reversible digraphs, reflexive digraphs,
irreflexive digraphs, and various tricks to represent undirected graphs
with directed graphs.<br>
<br>
So exact definitions are necessary.<br>
<br>
Sorry, just a first cut.  Not enough sleep.  Some time
tomorrow before gests and Thanksgiving dinner kicks in, but no promises.<br>
<br>
Thanks for the dialog.<br>
<br>
Best,<br>
<br>
Jonathan Vos Post<br>
<a title="Respond to comment by John Baez [October  8, 2006  7:25 PM]" onkeypress="if(window.event.keyCode == 13){OpenComments(this.href); this.blur(); return false;}" onclick="OpenComments(this.href); this.blur(); return false;" href="http://golem.ph.utexas.edu/cgi-bin/MT-3.0/sxp-comments.pl?entry_id=955;parent_id=5157">
</a>
</div>
</div>
<br><br><div><span class="gmail_quote">On 11/22/06, <b class="gmail_sendername">Max A.</b> <<a href="mailto:maxale@gmail.com">maxale@gmail.com</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">
On 11/22/06, <a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a> <<a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a>> wrote:<br>> How many categories are there?<br>><br>> First, how many categories are there with n morphisms and k objects?
<br><br>Does that correspond to transitively closed digraphs with k (labeled?)<br>vertices and n edges?<br><br>Max<br></blockquote></div><br>