This actually relates to the enumeration results I've made on "prime"
endofunctions, namely endofunctions which are not unions of other prime
endofunctions nor categorical products of endofunctions. My partial
results here are in A125024, A124023, and a comment on A048888 that I
submitted a day or two ago about the enumeration of prime endofunctions
in terms of numbrals.<br>
<br>
I have been working on enumerating not just endofunctions, but
(categorically) endomorphisms of endofunctions, (2-categorically)
endomorphisms of endomorphisms of endofunctions.  I've been
posting partial results on John Baez's "n-category cafe" and apparently
just annoyed John Baez, who didn't yet see that I was finding a new
combinatorial result at the base level (endofunctions) and working on
the n-category hierarchy above that, so those comments may already have
been deleted from his blog.<br>
<br>
That is, in counting all categories on n objects, most are trivially
the union of smaller disjoint categories (that is, the sagittal digraph
is not connected), or categorical products of smaller categories. 
They key to enumeration involves thus both a tree-enumeration, and the
numbral part which, per a recent paper in the Journal on Integer
Sequences, relate to balanced ordered trees.<br>
<br>
Hard to summarize less cryptically, here, but I stand by in support of
what you're doing, and think my approach is genuinely related.<br>
<br>
-- Jonathan Vos Post<br><br><div><span class="gmail_quote">On 11/22/06, <b class="gmail_sendername"><a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a></b> <<a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net
</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">How many categories are there?<br><br>First, how many categories are there with n morphisms and k objects?
<br>This table starts:<br><br> 1<br> 2  1<br> 7  3 1<br>35 16 3 1<br><br>The first column is A058129, the number of monoids; the main diagonal<br>is all 1's.  I am not<br>100% certain of the 16 in the final row.<br><br>Taking the row sums, we get:
<br><br>1,3,11,55<br><br>the number of categories with n morphisms.  This is probably not in the<br>OEIS (only<br>A001776 is possible - other matches become less than A058129).  The<br>inverse Euler<br>transform,<br><br>1,2,8,41
<br><br>is the number of connected categories with n morphisms; this is<br>likewise probably not<br>in the OEIS (only A052447 is possible).<br><br>Can somebody generate more data?<br><br>Franklin T. Adams-Watters<br><br>A category is a collection of objects and morphisms; each morphism is
<br>from one object<br>to another (not necessarily different) object.  Where the destination<br>of one morphism<br>is the source of a second, their composition is defined; composition is<br>associative where<br>it is defined.  Each object has an identity morphism, which connects it
<br>to itself; this<br>is an identity when composed with morphisms coming in and with<br>morphisms going<br>out.<br>________________________________________________________________________<br>Check Out the new free AIM(R) Mail -- 2 GB of storage and
<br>industry-leading spam and email virus protection.<br><br></blockquote></div><br>