One should also count loops, i.e. an arrow from an object to itself.<br>

<br>

Then there are 2 categories on one object, with and without the loop:<br>

Notating V(C) = the vertices in category C (which we label in this

illustrartion but enumerate up to isomorphism, i.e. on forgetting

labels; and L(C) is the set of loops of C, and A(C) is the set of

(proper) arcs.  That is, I've separated the loops out from their

being a mere subset of arcs, to aid in enumeration. Then each category

is, for this enumeration, a triple: C= V(C) U L(C) U A(C).<br>

<br>

C_1,1 = (1,null,null);<br>

C_1,2 = (1, 1->1,null).<br>

<br>

There are 6 categories on 2 objects:<br>

C_2,1 = ({1,2},null,null);<br>

C_2,2 = ({1,2},null,(1->1))<br>

note that the above is isomorphic to C_2,2 = ({1,2},null,(2->2))<br>

C_2,3 = ({1,2},{(1->1),(2->2)},null);<br>

C_2,4 = ({1,2},null,(1->2)) which is isomorphic to C_2,4 = ({1,2},null,(2->1));<br>

C_2,5 = ({1,2},(1>1),(1->2)) which is isomorphic to ({1,2},(2>2),(2->1));<br>

C_2,6 = ({1,2},null,(1>1),(2->1)).<br>

<br>

There do seem to be 35 categories on 3 objects, which are essentially

the same as the 7 endomorphisms on 3 objects, with each loop either

left in, or thrown away.<br>

<br>

The combinatorics are now straightforward.  We have the endofunction enumeration, and binary choices on each loop.<br>

<br>

I have many, many pages of drawings of these, but not wanting to either

scan them (not having a scanner) nor write out the explicit sets as

above.<br>

<br>

Is this clear enough, though, to proceed?<br>

<br>

-- Jonathan<br>

C_2,2 = ({1,2},(1->1),null)<br>

<br><br><div><span class="gmail_quote">On 11/24/06, <b class="gmail_sendername">Edwin Clark</b> <<a href="mailto:eclark@math.usf.edu">eclark@math.usf.edu</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

On Wed, 22 Nov 2006 <a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a> wrote:<br><br>> How many categories are there?<br>><br>> First, how many categories are there with n morphisms and k objects?<br>

> This table starts:<br>><br>>  1<br>>  2  1<br>>  7  3 1<br>> 35 16 3 1<br>><br>> The first column is A058129, the number of monoids; the main diagonal<br>> is all 1's.  I am not<br>> 100% certain of the 16 in the final row.

<br>><br><br>As you say, the number of one object categories on n objects is M(n)=the<br>number of monoids with n elements. But this is known only up to n = 7<br>according to the OEIS. This seems to make the number of TWO object

<br>categories with n morphisms a very difficult problem...Let alone THREE<br>object categories...<br><br>MathSciNet gives only one hit on "two object categor*":<br>------------------------------------------------------------------

Rosick\'y, Ji\v rí Codensity and binding categories. Comment. Math. Univ. Carolinae 16 (1975), no. 3, 515--529. If there is no measurable cardinal, the author constructs a two-object category all of whose well-powered complete extensions are binding.

------------------------------------------------------------------- which is clearly not related to the enumeration problem. A search on "categor* with two objects" give a few more hits but as far as I can see still no papers related to enumeration..

<br><br><br></blockquote></div><br>