Offline, I'm coordinating with Edwin Clark on definitions.<br>
<br>
But I'm counting as lower bounds  (many pages of paper with
drawings, too lengthy for me to turn into ascii, don't have scanner):<br>
<br>
2 categories on 1 point;<br>
6 categories on 2 points;<br>
16 categories on 3 points;<br>
46 categories on 4 points;<br>
116 categories on 2 points;<br>
<br>
in each case where the underlying digraph is of an endofunction. The
full count on categories on n points is a weighted partial sum on
these, related to my enumeration of "prime" endofunctions being the sum
of Fobonacci(n), tribonacci(n), teranacci(n), ...<br>
<br>
-- I can give examples on request.  Of course, I can always be off
by 1 or more on each count, through sheer blunder.  But I am being
self-consistent in methodology, and it can be done by software using
the same algorithm, carefully translated.<br>
<br>
-- Jonathan<br>
<br><br><div><span class="gmail_quote">On 11/23/06, <b class="gmail_sendername">Roland Bacher</b> <<a href="mailto:Roland.Bacher@ujf-grenoble.fr">Roland.Bacher@ujf-grenoble.fr</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">
<br>I realised that the formula below for enumerating categories<br>using quivers is completely wrong. It gives only an upper bound<br>since one has to require moreover associativity for the composition of<br>morphisms. The quiver approach works however in principle but
<br>is much more complex (and I guess this approach has been<br>used in some of the previous approaches).   Roland Bacher<br><br>On Thu, Nov 23, 2006 at 12:10:51PM -0800, Jonathan Post wrote:<br>> *"Formalized Proof, Computation, and the Construction Problem in Algebraic
<br>> geometry", by Carlos Simpson.<br>><br>> [PDF]* arXiv:*math*.AG/0410224 v1 8 Oct<br>> 2004<<a href="http://arxiv.org/pdf/math/0410224">http://arxiv.org/pdf/math/0410224</a>> File<br>> Format: PDF/Adobe Acrobat - View as
<br>> HTML<<a href="http://72.14.253.104/search?q=cache:8FWyl8lGqRwJ:arxiv.org/pdf/math/0410224+%22how+many+categories%22+math+theory&hl=en&gl=us&ct=clnk&cd=5">http://72.14.253.104/search?q=cache:8FWyl8lGqRwJ:arxiv.org/pdf/math/0410224+%22how+many+categories%22+math+theory&hl=en&gl=us&ct=clnk&cd=5
</a>><br>> finite integer N, *how many categories* are there with N morphisms? What *<br>> ...* Algebraic *theory* of machines, I. Trans. Amer. *Math*. Soc. 116<br>> (1965), 450-464.<br>><br>><br>><br>
> On 11/23/06, Jonathan Post <<a href="mailto:jvospost3@gmail.com">jvospost3@gmail.com</a>> wrote:<br>> ><br>> >Roland Bacher correctly refers to quivers as summarized in wikipedia at<br>> ><br>
> ><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Quiver_%28mathematics%29">http://en.wikipedia.org/wiki/Quiver_%28mathematics%29</a><br>> ><br>> >On 11/22/06, Roland Bacher < <a href="mailto:Roland.Bacher@ujf-grenoble.fr">
Roland.Bacher@ujf-grenoble.fr</a>> wrote:<br>> >><br>> >><br>> >> This numbers can also be obtained as the numbers<br>> >> of the following quotients of quivers:<br>> >><br>
> >> Associate to a category with n morphisms and k objects<br>> >> the quiver with k vertices corresponding to the objects<br>> >> and a(X,Y) arrows directed from the object X to the object<br>
> >> Y if there are a(X,Y) morphisms from X into Y.<br>> >><br>> >> Given two morphism g:X-->Y, f:Y-->Z with composition<br>> >> h=f o g:X-->Z, put the relation gf=h on the quiver algebra
<br>> >><br>> >> The resulting quotient algebra has dimension n and a basis<br>> >> given by the (simple) arrows.<br>> >><br>> >> This leads to the following "algorithm" for enumerating
<br>> >> all categories with n morphisms and k objects:<br>> >><br>> >> (a) enumerate all quivers (directed graphs) with k vertices and<br>> >> n oriented edges.<br>> >><br>> >> (b) Associate the following "weight" to such a quiver as follows :
<br>> >><br>> >> (b1)given a triplet of vertices X,Y,Z,<br>> >> set w(X,Y,Z)=(a(X,Z))^{a(X,Y) \cdot a(Y,Z)}<br>> >> (this counts the number of ways which associate a morphism<br>> >> X-->Z to a composition X-->Y-->Z) where a(U,V) denotes the
<br>> >> number of oriented arrows starting at U and ending at W.<br>> >><br>> >> (b2) associate to a given quiver the weight<br>> >> \prod_{X,Y,Z} w(X,Y,Z)<br>> >> where the product is over all triplets of vertices.
<br>> >><br>> >> The total sum of such weighted quivers yields then the solution.<br>> >><br>> >> Roland Bacher<br>> >><br>> >><br>> >><br>> >><br>> >>
<br>> >><br>> >> On Wed, Nov 22, 2006 at 04:20:32PM -0500, <a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a> wrote:<br>> >> > How many categories are there?<br>> >> >
<br>> >> > First, how many categories are there with n morphisms and k objects?<br>> >> > This table starts:<br>> >> ><br>> >> > 1<br>> >> > 2  1<br>> >> > 7  3 1
<br>> >> > 35 16 3 1<br>> >> ><br>> >> > The first column is A058129, the number of monoids; the main diagonal<br>> >> > is all 1's.  I am not<br>> >> > 100% certain of the 16 in the final row.
<br>> >> ><br>> >> > Taking the row sums, we get:<br>> >> ><br>> >> > 1,3,11,55<br>> >> ><br>> >> > the number of categories with n morphisms.  This is probably not in
<br>> >> the<br>> >> > OEIS (only<br>> >> > A001776 is possible - other matches become less than A058129).  The<br>> >> > inverse Euler<br>> >> > transform,<br>> >> >
<br>> >> > 1,2,8,41<br>> >> ><br>> >> > is the number of connected categories with n morphisms; this is<br>> >> > likewise probably not<br>> >> > in the OEIS (only A052447 is possible).
<br>> >> ><br>> >> > Can somebody generate more data?<br>> >> ><br>> >> > Franklin T. Adams-Watters<br>> >> ><br>> >> > A category is a collection of objects and morphisms; each morphism is
<br>> >> > from one object<br>> >> > to another (not necessarily different) object.  Where the destination<br>> >> > of one morphism<br>> >> > is the source of a second, their composition is defined; composition
<br>> >> is<br>> >> > associative where<br>> >> > it is defined.  Each object has an identity morphism, which connects<br>> >> it<br>> >> > to itself; this<br>> >> > is an identity when composed with morphisms coming in and with
<br>> >> > morphisms going<br>> >> > out.<br>> >> ><br>> >> ________________________________________________________________________<br>> >> > Check Out the new free AIM(R) Mail -- 2 GB of storage and
<br>> >> > industry-leading spam and email virus protection.<br>> >> ><br>> >><br>> ><br>> ><br></blockquote></div><br>