Thank you, Christian.  That looks right.<br>

<br>

Note that the partial sums of the first column are A118601 Number of

monoids (semigroups with identity) of order <=n.  This first

column also equals the row sums of A058137, which partitions the

monoids of order n by the number k of idempotents.<br>

<br>

<table style="width: 697px; height: 25px;" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">

<tbody><tr><td align="left" valign="top" width="100"><br>

</td>

          <td width="5"><br>

</td>

          <td align="left" valign="top"><br>

</td></tr></tbody>

</table>

<br><br><div><span class="gmail_quote">On 11/29/06, <b class="gmail_sendername">Christian G. Bower</b> <<a href="mailto:bowerc@usa.net">bowerc@usa.net</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

<br>I have one more row to add<br><br>------ Original Message ------<br>Received: Wed, 22 Nov 2006 01:21:01 PM PST<br>From: <a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a><br>To: <a href="mailto:seqfan@ext.jussieu.fr">

seqfan@ext.jussieu.fr</a><br>Subject: Categories<br><br>> How many categories are there?<br>><br>> First, how many categories are there with n morphisms and k objects?<br>> This table starts:<br>><br>>  1

<br>>  2  1<br>>  7  3 1<br>> 35 16 3 1<br>><br>228 77 20 3 1<br><br>> The first column is A058129, the number of monoids; the main diagonal<br>> is all 1's.  I am not<br>> 100% certain of the 16 in the final row.

> > Taking the row sums, we get: > > 1,3,11,55 329 > > the number of categories with n morphisms.  This is probably not in the > OEIS (only > A001776 is possible - other matches become less than A058129).

<br><br>While the 329 is eerily close to A001776's 330, EULER(A058129) is a<br>lower limit for this sequence and we have 2982 vs 2345 for #6 there.<br>>  The<br>> inverse Euler<br>> transform,<br>><br>> 1,2,8,41

258 > > is the number of connected categories with n morphisms; this is > likewise probably not > in the OEIS (only A052447 is possible). No longer possible > > Can somebody generate more data?

<br>><br>> Franklin T. Adams-Watters<br>><br><br>Christian<br><br>PS<br><br>I don't know if it will be feasible to collect enough data to do<br>this, but the columns of the triangle converge and that convergence<br>

would make an interesting sequence in and of itself.<br><br><br><br></blockquote></div><br>