a(n) = 2*A000055(n) - A000081(n/2) = (2* Number of trees with n
unlabeled nodes) - Number of rooted trees with n/2 nodes (or connected
functions with a fixed point)<br>
<br>
where a(n) is downwards sloping diagonal sums of main category table, or what? <br>
<br>
It isn't until we look at bicategories that we are forced to look at
the symmetries and structure of the individual categories being
enumerated here, as objects in the higher categories, and have to
enumerate the morphisms of the functions. A (finite, concrete) category
whose underlying directed graph has no symmetry (i.e. automorphism
group of order 1) can only map to itself or an identical copy of
itself, point to point, loop to loop, arc to arc.  But any cycle
of length >1 in that directed graph allows morphisms to other
directed graphs.  The directed graph C_n, a cycle of length n, can
thus map to the same graph but mapping each point to the next, and each
arc to the next, and so forth. That requires then analysis of cycles in
directed graphs, as by de Bruijn in 1952 and more deeply understood
since then. This is another enumeration problem, unnecessary to
completing the answer to Frank's original question, and more tied to my
endofunctions analysis. Sorry if my interruptions distracted you from
the straightforward question.  Good work, guys!<br>
<br>
Funny how Category Theory folks tend to be addicted to theory for its
own sake, and less willing to "get their hands dirty" with anything as
old fashioned as enumeration.  OEIS helps us focus here, by
demanding the integer sequences!<br><br><div><span class="gmail_quote">On 11/30/06, <b class="gmail_sendername"><a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a></b> <<a href="mailto:franktaw@netscape.net">
franktaw@netscape.net</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">A typo there; that should be a(n) = 2*A000055(n) - A000081(n/2).
<br><br>Franklin T. Adams-Watters<br><br><br>-----Original Message-----<br>From: <a href="mailto:bowerc@usa.net">bowerc@usa.net</a><br><br>...<br>For n>1 it's A122086<br><a href="http://www.research.att.com/~njas/sequences/A122086">
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A122086</a><br>A sequence which could use a nicer description and formula such as<br>a(n) = A000055(n) - A000081(n/2) where a sequence evaluated at a<br>noninteger is 0.<br><a href="http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000055">
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000055</a><br><a href="http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000081">http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000081</a><br><br>Christian<br><br><br><br><br><br>________________________________________________________________________
<br>Check Out the new free AIM(R) Mail -- 2 GB of storage and<br>industry-leading spam and email virus protection.<br><br></blockquote></div><br>