Dear <font face="Arial"><span style="font-size: 12px;">
Søren,<br>
<br>
Consider how two cube-cells in a hypercube are adjacent, analogously to how two squares are adjacent in a cube.<br>
<br>
Now stretch the hypercube along 1, 2, or 3 axes to make a 4-D Lego
block. an axbxcxd can overlap and stick to an exbxcxd along 1
dimension, or a exfxcxd along 2 directions, or an exfxgxd along 3
directions.<br>
<br>
Remember also a 4-D block rotates, not around any of 3 orthogonal axes
(and combinations of them, noncommutatively) as in 3-space, but around
a plane, in particular about any of 6 orthogonal planes: xy, xz, zt,
yz, yt, zt (and combinations of them).<br>
<br>
I think that we exclude the transformation which turns a block inside
out, and thus are looking at a subset of the automorphisms of a
hypercube, the same as for its dual, the 16-cell.<br>
<br>
</span></font><font face="Arial"><span style="font-size: 12px;">Hypercubes are also called tesseracts.</span></font> A <a href="http://mathworld.wolfram.com/Tesseract.html" class="Hyperlink">tesseract</a> has 16 <a href="http://mathworld.wolfram.com/PolytopeVertex.html" class="Hyperlink">
polytope
 vertices</a>, 32 <a href="http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html" class="Hyperlink">polytope edges</a>,
 24 <a href="http://mathworld.wolfram.com/Square.html" class="Hyperlink">squares</a>, and eight <a href="http://mathworld.wolfram.com/Cube.html" class="Hyperlink">cubes</a>.<br>
<br>
So how many cubes in common are two stuck-together hypercubes?  So
how many cubes in common are two stuck-together rectangular stretched
hypercubes?  <br>
<font face="Arial"><span style="font-size: 12px;"><br>
There are people in seqfans with better 4-D visualization powers than I.<br>
<br>
</span></font><span class="gmail_quote"></span><br><div><span class="gmail_quote">On 11/30/06, <b class="gmail_sendername">Søren Eilers</b> <<a href="mailto:eilers@math.ku.dk">eilers@math.ku.dk</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">




<div><span class="q">
<font face="Arial"><span style="font-size: 12px;">On 02/11/06 21:54, "Jonathan Post" <<a href="mailto:jvospost3@gmail.com" target="_blank" onclick="return top.js.OpenExtLink(window,event,this)">jvospost3@gmail.com
</a>> wrote:<br>
<br>
</span></font><blockquote><font face="Arial"><span style="font-size: 12px;">He
and I agree, however, that it's a shame that the manufacturer doesn't
make 4-D Lego blocks, or, more properly, the ones that they do make are
of extension along the t-axis only in the trivial way, and cannot be
freely rotated in Minkowski space.<br>
<br>
So, I wonder, how well does your approach to counting under symmetry work if extended to an additional spacial dimension?<br>
<br>
I suppose that we can consider an AxBxC 4-D Lego to be actually an
AxBxCx1 Lego in Z^4. I think that adjacency is well-defined, all
rotations are about planes, and there is a relationship to 4-D
analogues of polyominoes, i.e. to polyhypercubes.<br>
</span></font></blockquote></span><font face="Arial"><span style="font-size: 12px;"><br>
Dear Jonathan<br>
<br>
These are very intriguing questions, especially because my main goal is
to understand how large an increase of flexibility there is when going
from building with (3D) legos in a restricted way (like making them
into towers of maximal length)  to working freely in space. Such
questions could be asked in higher dimensions as well.<br>
<br>
What kind of attachments would you allow? With 3D legos, of course, we
allow the block with a corner in (x,y,z) to be put on one with a corner
in (x',y',z') if |z-z'|=1 and the projections of the blocks to the XY
plane overlap, so there is an obvious lack of symmetry between the axes
which I do not see off hand how best to resolve in 4D.<br>
<br>
Best,<br>
Søren</span></font>
</div>



</blockquote></div><br>