As wikipedia comments:<br>

<br>

It follows that a totally ordered set is a <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Distributive_lattice" title="Distributive lattice">distributive lattice</a>....<br>

<br>

Totally ordered sets form a <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Subcategory" title="Subcategory">full subcategory</a> of the <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Category_%28mathematics%29" title="Category (mathematics)">

category</a> of <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_order" title="Partial order">partially ordered sets</a>, with the morphisms being maps which respect the orders....<br>

<p>A simple counting argument will verify that any finite total order

(and hence any subset thereof) has a least element. Thus every finite

total order is in fact a <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Well_order" title="Well order">well order</a>. Either by direct proof or by observing that every well order is <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Order_isomorphic" title="Order isomorphic">

order isomorphic</a> to an <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal" title="Ordinal">ordinal</a> one may show that every finite total order is <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Order_isomorphic" title="Order isomorphic">

order isomorphic</a> to an <a href="http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Initial_segment&action=edit" class="new" title="Initial segment">initial segment</a>

of the natural numbers ordered by <. In other words a total order

with k elements is induced by a bijection with the first k natural

numbers. Hence it is common to index finite total orders or countable

well orders by natural numbers in a fashion which respects the ordering.</p>

<p>Contrast with a <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_order" title="Partial order">partial order</a>, which lacks the third condition. An example of a partial order is the <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Happened-before" title="Happened-before">

happened-before</a> relation.<br>

</p>

<p>Could the author of the sequence mean something like "the number of

totally ordered subset of all partial orders on n points, up to

isomorphism"? Or relate to your Category enumeration?<br>

</p>

<p>-- Jonathan Vos Post<br>

 </p>

<br><br><div><span class="gmail_quote">On 12/6/06, <b class="gmail_sendername"><a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a></b> <<a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a>> wrote:

</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;"><a href="http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000669">http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000669

</a> is "Number of series-reduced planted trees with n leaves. ... also the number of total orderings of n unlabeled points." The number of total orderings of n unlabeled points is 1. What is this portion of the description intended to mean?

Franklin T. Adams-Watters ________________________________________________________________________ Check Out the new free AIM(R) Mail -- 2 GB of storage and industry-leading spam and email virus protection.

<br><br></blockquote></div><br>