I don't know if this is known and obvious.<br>
<br>
Numbers n such that the sum of the first n factorials<br>
of primes is a power of 2, or a prime times a power of 2.<br>
<br>
n such that SUM[i=1..n] p(i)! is in A093641.<br>
<br>
a(n) = 1, 2, 3, 5, 6, 16, ...<br>
<br>
I looked at sums up through 101!<br>
<br>
Examples:<br>
<br>
1: 2! = 2^1.<br>

<br>

2: 2! + 3! = 2^3.<br>

<br>

3: 2! + 3! + 5! = 2^7.<br>

<br>

5: 2! + 3! + 5! + 7! + 11! = 2^4 * 2495123.<br>

<br>

6: 2! + 3! + 5! + 7! + 11! + 13! = 2^4 * 391683923.<br>
<br>
16:  2! + 3! + 5! + 7! + 11! + 13! + 17! + 19! + 23! + 29! + 31! + 37! + 41! + 43! + 47! + 53!<br>
= 4274 883284 318648 866257 897537 783116 548765 283361 416943 855991 471976 510768<br>
= 2^4 *  267 180205 269915 554141 118596 111444 784297 830210 088558 990999 466998 531923.<br>
<br>
Happy Hanukkah!<br>
<br>
-- Jonathan Vos Post<br>