<DIV>Dear Clark, </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>The problem as stated is ill-posed. </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>You want to say that N = c_0/x + c_1/x^2 + c_2/x^3 + ... where c_j are all positive integers, </DIV>
<DIV>right? </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Then the solution is not unique, for the following reason. </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>The golden mean x satisfies </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>x^2=x+1, </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>so that </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>1=1/x +1/x^2,   ---(*) </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>and therefore for any integer N we have </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>N= N/x + N/x^2, </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>which gives one solution (with only finitely many non-zero c_j), </DIV>
<DIV>but there are infinitely many from (*), because note we can write </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>N=N/x (1/x +1/x^2) + N/x^2 </DIV>
<DIV>   =N(1/x + 1/x^2)^2 </DIV>
<DIV>   =N(1/x +1/x^2)^M </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>for any integer M, and so on. <BR></DIV>
<DIV>Merry Christmas to you and all the seqfans! </DIV>
<DIV>Andy </DIV>
<DIV><BR>----- Original Message -----<BR>From: "Kimberling, Clark" <ck6@evansville.edu><BR>Date: Tuesday, December 19, 2006 2:37 pm<BR>Subject: Representations found by the greedy algorithm<BR>To: seqfans@seqfan.net, seqfan@ext.jussieu.fr<BR><BR>>  <BR>> Suppose x=(1+sqrt(5))/2.  The greedy algorithm finds that <BR>> every positive<BR>> integer N has a representation<BR>> <BR>> N = c0/x + c1/x^2 + c2/x^3 + ...<BR>> <BR>> Can someone prove that c1, c2, c3, ... are all 0 except for finitely<BR>> many 1's?<BR>> <BR>> Examples:<BR>> <BR>> 4 = 6/x + 1/x^3 + 1/x^6<BR>> <BR>> 5 = 8/x + 1/x^6<BR>> <BR>> 6 = 9/x + 1/x^2 + 1/x^6<BR>> <BR>> 22 = 35/x + 1/x^3 + 1/x^5 + 1/x^7 + 1/x^10.<BR>> <BR>> Clark Kimberling<BR>> <BR>> </DIV>