Trapped on a holiday morning with no PC or even hand calculator about,

I started enumerating by hand the nonisomorphic partial endofunctions

on n indistinguishable objects.  That is, charter by digraphs with

outdegree 0 or 2 at each vertex.  These are digraphs associated

with partial functions, becuase of the vertices with outdegree 0, as

opposed to functional graphs *digraphs where every vertex has outdegree

1).<br>

<br>

By hand, subject to error, we have, for instance, 1 PFG (partial

Functional Graph) on 0 vertices, namely the null graph.  There are

2 PFGs on 1 vertex (it either has or does not have a loop =

1-cycle).  There are 5 PFGs on 2 points: 0 arcs and 0, 1, or 2

loops on two disconnected vertices, and 1->2 where 2 either has no

out-link or a loop.<br>

<br>

For n=0,1,2,3,4,5 I count a(n) = 1, 22, 5, 16, 45, 121.<br>

<br>

This is not in OEIS.  But I may have erred in my drawings, although they still look good in double-checking.<br>

<br>

Surely it is easy to enumerate these graphs in Mathematica, or PARI, or

Maple?  Although determining isomorphism can be slow when n gets

big.<br>

<br>

This is at least related to the Category enumeration, I think.<br>

<br>

Happy Hanukkah, Merry Christmas, etc.,<br>

<br>

Jonathan Vos Post<br><br><div><span class="gmail_quote">On 11/30/06, <b class="gmail_sendername">Henry Gould</b> <<a href="mailto:gould@math.wvu.edu">gould@math.wvu.edu</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

I recall such a paper. The author published a paper giving a new<br>definition  for the dimension of a topological space. He built up a<br>chain of lemmas, ending up with a grand and glorious theorem based on<br>the properties of a sequence of sets. The paper got bu the referees and

<br>the editors of a leading American research journal. When the<br>Mathematical Reviews came out the very intelligent reviewer reported all<br>the things in the paper and then ended with an incisive comment that<br>unfortunately the author had failed to notice that every set in his

sequence happened to be EMPTY. That was such a remarkable review. A friend and colleague  of mine made up a new definition of a pseudo inverse of  a matrix and was about to publuish it when it suddenly downed on him that none of the matrices he had invented existed.

So, yes, this kind of thing can happen. Henry Gould = = = = = = = <a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a> wrote: > I'd like to put my plug in for more application in math.

<br>><br>> I heard of a case some years ago where a paper was published about<br>> some kind of mathematical object (I think it was a kind of topological<br>> space, but it really doesn't matter).  Three or four more papers were

<br>> published, establishing more and more properties for this type of<br>> object - until finally it was proved that they don't exist!  This<br>> wouldn't have happened if somebody had asked for an example at an

<br>> early stage.<br>><br>> There is a strong tendency in mathematics to start at the end.  The<br>> researcher pursues a line of thought, which eventually leads to a<br>> spiffy proof.  The proof is then published, with no hint of the

<br>> process by which it was reached.  This is a disservice to anybody who<br>> might use a similar approach to solve some other problem.  It is<br>> especially a disservice when presented to students.<br>><br>

> On a more personal level, I find when looking a math paper, I want to<br>> know how this relates to problems that I am already interested in or<br>> at least familiar with.  If I can't get an answer to that, I have a

<br>> hard time maintaining any interest.<br>><br>> Franklin T. Adams-Watters<br>><br>> ________________________________________________________________________<br>> Check Out the new free AIM(R) Mail -- 2 GB of storage and

<br>> industry-leading spam and email virus protection.<br>><br>><br><br></blockquote></div><br>