<font size="4">You're right, Dean Hickerson.  I missed the obvious

2-cycle  (1,2)->(2,1). I did make the typo, and meant outdegree

0 or 1.<br>

<br>

When outdegree is always 1, we have the functional graphs, same as

endofunctions. As in A125024. When some points have no function from

them defined, neither being in a cycle of length >1 nor with a loop

(1-cycle), that is the partial functional graphs I was counting.<br>

<br>

</font><font size="4"> If one writes an endofunction over n points

(finite n) and numbers

the points 1 through n, then each labeled sagittal graph (directed

graph, "sagittal" = "with arrows") of a function from (1,2,3,..., z) to

(a, b, c, ..., z) with a, b, c,

..., z elements of (1,2,3,..., z).<br>

<br>

The point is that the enumeration is up to isomorphis<font size="4">m, so that 1-> is the same as 2->1<font size="4">.

In the 2-cycle you pointed out, 1<=>2 is isomorphic to

2<=>1, of course.  We label for notation, and then permute

the labels as needed.</font><font size="4"><br>

</font><font size="4"><tt><br>

</tt></font><font size="4">The corrected count for n = 0,1,2,3,4,5 is now:<br>

a(n) = 1, 2, 6, 16, 45, 121?<br>

<br>

That starts the same through n=4, but is off by 1 for n=5 from A055544

            Total number of nodes in all rooted trees with n nodes, where </font><font size="4">A055544(5)

= 120. If I missed one for n=5 (seems more likely now with the omission

that you caught) then there must be an obvious isomorphism between

these one-to-one partial function on n points and A055544.  Is

that the Joyal isomorphism?<br>

<br>

Munn [1957] gave a notation that generalized cycle notation for

permutations.  Lipscomb [1986] gave a path notation, motivated by

digraph representations of charts (partial one-one transformations).<br>

<br>

Konieczny and Lipscomb, Math. Japonica 48, No.3(1998)367-376 give a

lovely enumeration in "Centralizers in the semigroup of partial

transformations" and I was trying to get an integer sequence out of

their approach.  The semigroup is the natural one by composition

of transformations on the the partial functions.<br>

<br>

Since </font><font size="4">A055544(6) = 336, are there 336 nonisomorphic partial functions on 6 points?<br>

<br>

Thanks for catching my goof.<br>

<br>

Must wrap some presents now...<br>

<br>

Best of the holiday season to you & yours,<br>

<br>

-- Jonathan Vos Post<br>

<br>

<br>

</font><font size="4"><tt><br>

<br>

</tt></font><br><div><span class="gmail_quote">On 12/23/06, <b class="gmail_sendername">Dean Hickerson</b> <<a href="mailto:dean@math.ucdavis.edu">dean@math.ucdavis.edu</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

Mostly to Jonathan Post: > Trapped on a holiday morning with no PC or even hand calculator about, I > started enumerating by hand the nonisomorphic partial endofunctions on n > indistinguishable objects.

I haven't seen the word "endofunction" before.  Do you just mean a function from some subset of the set of n elements into the same set of n elements? > That is, charted by digraphs with outdegree 0 or 2 at each vertex.

<br><br>Do you mean "outdegree 0 or 1"?<br><br>> There are 5 PFGs on 2 points: 0 arcs and 0, 1, or 2 loops on two<br>> disconnected vertices, and 1->2 where 2 either has no out-link or a loop.<br><br>If I understand correctly what you're counting, I find 6 of them; with

<br>1->2, 2 can either have no out-link, or a loop, or an arc back to 1.<br><br>Am I confused about what you're counting, or did you miss one?<br><br>Dean Hickerson<br><a href="mailto:dean@math.ucdavis.edu">dean@math.ucdavis.edu

</a><br></blockquote></div><br>