I don't see evidence of OEIS of this array, which unifies at least 9 existing sequences.<br><br>Recursively: T(k,1) = 10; T(k,n+1) = T(k,n) converted to base 10 from base k, written in base 10.<br><br>The table begins as (row is what A-number):
<br><br>1 | 10, 1111111111, ...<br>2 | 10, 1010, 1111110010, ... (A006937)<br>3 | 10, 101, 10202, 111222212, ... (A023372)<br>4 | 10, 22, 112, 1300, 110110, ... (A023378)<br>5 | 10, 20, 40, 130, 1010, 13020, ... (A023383)
<br>6 | 10, 14, 22, 34, 54, 130, 334, 1314, ... (A023387)<br>7 | 10, 13, 16, 22, 31, 43, 61, 115, ... (A023390)<br>8 | 10, 12, 14, 16, 20, 24, 30, 36, 44, 54, ... (A008557)<br>9 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, ... (A023392)
<br>10| 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, ... (A010692)<br><br>This table can be presented by antidiagonals.  It has finite such presentation, as we hit nondecimal characters. (exercise for reader: when?).<br><br>The main diagonal is: T(n,n) = 10, 1010, 10202, 1300, 1010, 130, 61, 36, 18, 10, ...
<br><br>This is not itself "base" as it explicitly deals with conversions nonarbitrarily.  It may be "dumb."  But it does, as I say, unify at least 9 existing sequences.<br><br>See also A063432.<br><br>
Happy holidays,<br><br>-- Jonathan Vos Post<br>