<DIV>Hi everybody - </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>I was interested in this question. One can easily get the leading order part of </DIV>
<DIV>the asymptotics  from Cauchy's root test, so that a(n)/n!~ (1/R)^n * (subexponential part), </DIV>
<DIV>where R=log(1+sqrt(2)) is the radius of convergence of the series. The subexponential </DIV>
<DIV>part is here just a constant 1/(R*cosh(R))=sqrt(2)/2/log(1+sqrt(2)) which indeed gives </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>a(n) ~ sqrt(2)/2*n!/log(1+sqrt(2))^(n+1). </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>To find this part, one can certainly use Cauchy's integral formula for the coefficients, but </DIV>
<DIV>it requires a bit more work. I used a result (based on this formula) from an article by Philippe Flajolet, Symbolic Enumerative Combinatorics and Complex Asymptotic Analysis, Algorithms Seminar 2000-2001, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2002), pp. 161-170 [see Theorem 5 and Table 2, noting that 1/(1-sinh(x)) just has a simple pole at x=R]. Rather than using this general result, </DIV>
<DIV>for this function it might be possible to make a simple choice of contour and get it more directly. </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Anyway, perhaps this reference will be very useful for other seqfans who want to work out the </DIV>
<DIV>asymptotics of a sequence from its g.f./e.g.f. It is available from the INRIA website. </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>All the best, </DIV>
<DIV>Andy </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV><BR> </DIV>
<DIV><BR><BR>----- Original Message -----<BR>From: Max Alekseyev <maxale@gmail.com><BR>Date: Sunday, February 18, 2007 7:33 pm<BR>Subject: Re: asymptotic formula for A006154<BR>To: ralf@ark.in-berlin.de, Simon Plouffe <simon.plouffe@gmail.com>, seqfan@ext.jussieu.fr<BR><BR>> On 2/17/07, Ralf Stephan <ralf@ark.in-berlin.de> wrote:<BR>> > > So the entry would be<BR>> > ><BR>> > > %F A006154 a(n) ~ sqrt(2)/2*(n-1)!/log(1+sqrt(2))^n.<BR>> ><BR>> > Does someone have or know of a proof?<BR>> <BR>> It should easy follow from the expression of Laurent series<BR>> coefficients as contour integrals, and Cauchy integral formula:<BR>> http://mathworld.wolfram.com/LaurentSeries.html<BR>> http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralFormula.html<BR>> <BR>> In particular, log(1+sqrt(2)) is a pole for function 1/(1-sinh(x)).<BR>> <BR>> Max<BR>> </DIV>