<pre style="font-family: arial,sans-serif;">Dear Frank,<br><br>>the differences are:<br>>1/7 1/42 1/30 1/20 1/28 1/21 1/15 1/35 1/14 1/14 1/35 1/15 1/21 1/28 1/20 1/30 1/42 1/7.<br><br>The (unsorted and unordered) sequence of the denominators for above fractions 

<br>given by You in your last email:<br><br>7 42 30 20 28 21 15 35 14 14 35 15 21 28 20 30 42 7<br><br>is not in OEIS <br><br>Superseeker search confirms this<br> (BTW, the superseeker's "suggestion" appears very erroneous ? - Neal ?)

<br><br>Report on [ 7,42,30,20,28,21,15,35,14,14,35,15,21,28,20,30,42,7]:<br>Many tests are carried out, but only potentially useful information<br>(if any) is reported here.<br>SUGGESTION: apparently the differences of order 16 in the

difference table of depth 1 have become constant. If this is true then the next four terms of the sequence are:              [-236955, -3690857, -30795633, -182541824]</pre>Should this sequence be included in OEIS as is ?

<br><br>AP<br>====================================================<br><div class="gmail_quote">On Jan 19, 2008 12:17 AM,  <<a href="mailto:franktaw@netscape.net">franktaw@netscape.net</a>> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

I have a beautiful proof that A002088 is an upper bound for this<br>sequence.<br><br>The key is in my final note.<br><br>To get a solution for a given n, start with the Farey sequence for n.<br>(That is, all fractions between 0 and 1 inclusive with denominator

<br><= n.)  Now look at the differences between adjacent values.<br>These obviously sum to 1, and equally obviously, can be partitioned<br>into groups each summing to 1/k for each k from 1 to n: just break<br>at the fractions j/k for 0 < j < k.  (j/k may not be in lowest terms,

<br>but if not it can be reduced.)<br><br>And, quite trivially, the number of fractions added to the Farey<br>sequence for each n is phi(n).<br><br>For example, for n = 7, the Farey sequence is:<br>0/1 1/7 1/6 1/5 1/4 2/7 1/3 2/5 3/7 1/2 4/7 3/5 2/3 5/7 3/4 4/5

<br>   5/6 6/7 1/1<br><br>The differences are:<br>1/7 1/42 1/30 1/20 1/28 1/21 1/15 1/35 1/14 1/14 1/35 1/15<br>   1/21 1/28 1/20 1/30 1/42 1/7.<br><br>To get back to David's problem, multiply by the lcm of the<br>denominators, which in this case is 420.  We get

<br>60 10 14 21 15 20 28 12 30 30 12 28 20 15 21 14 10 60<br>or rearranging:<br>[10,10,12,12,14,14,15,15,20,20,21,21,28,28,30,30,60,60]<br><br>Franklin T. Adams-Watters<br><div class="Ih2E3d"><br>From David Wilson <<a href="mailto:davidwwilson@comcast.net">

davidwwilson@comcast.net</a>>:<br>>What I am looking for is a multiset of integers that can be<br>>partitioned into k equal-sum multisets for k = 1, 2, 3, ..., n.<br><br></div>Me:<br>...<br><div><div></div><div class="Wj3C7c">

I will conjecture that A002088 is in fact the solution to this problem. A final note: this problem is equivalent to asking how many positive fractions are required so that they can divided into k groups, each summing to 1/k, for every k from 1 to n.

<br><br>Franklin T. Adams-Watters<br><br>________________________________________________________________________<br>More new features than ever.  Check out the new AIM(R) Mail ! -<br><a href="http://webmail.aim.com" target="_blank">

http://webmail.aim.com</a><br></div></div></blockquote></div><br>