<DIV style="FONT-SIZE: 12px; FONT-FAMILY: verdana, arial">
<DIV>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>I appreciate your inform about transforms. That is new to me.<SPAN style="mso-spacerun: yes">  </SPAN>I found in chapter 1, page 8 of “Harary and Palmer” the EGFs G(x) and C(x)</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>for labeled graphs and labeled connected graphs, and the relation</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /><o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman">1 + G(x) = e^{C(x)}<SPAN style="mso-spacerun: yes">             </SPAN>(1.2.6)<o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>that is probably related to the logarithm transform that you mention.</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"><SPAN lang=EN-US>Below we can see two examples involving the sequences that you mention in your explanations about transforms, namely </SPAN><SPAN lang=EN-US style="mso-bidi-font-size: 10.0pt">A001349 unlabeled connected graphs, and A001187 labeled connected graphs. Yesterday I made them.<o:p></o:p></SPAN></FONT></FONT></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US style="mso-bidi-font-size: 10.0pt"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"><SPAN lang=EN-US style="mso-bidi-font-size: 10.0pt">The first example shows that </SPAN><SPAN lang=EN-US>problems that are resolved with the inverse Euler transform can also be resolved by a sum over partitions. </SPAN><SPAN lang=EN-US style="mso-bidi-font-size: 10.0pt">The second example shows that </SPAN><SPAN lang=EN-US>problems that are resolved with the logarithm transform can also be resolved by a sum over partitions.<SPAN style="mso-spacerun: yes">  </SPAN>(Searches in OEIS with some terms indicate that the sequences corresponding to the examples do not appear in OEIS.)</SPAN></FONT></FONT></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Example 1) Number of unlabeled graphs on n nodes with m connected components.</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>offset 0</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Formula</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Sum over the partitions of n with exactly m parts</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman">c_1 + 2c_2 + … + nc_n,<SPAN style="mso-spacerun: yes">  </SPAN>c_1, c_2, ... , c_n >= 0;<SPAN style="mso-spacerun: yes">  </SPAN>of<o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR">\prod_{j=1}^n\,{</SPAN><SPAN style="mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-ansi-language: PT-BR"> C(A001349(j)</SPAN><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR">+ c_j –1, c_j}<o:p></o:p></SPAN></FONT></FONT></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Triangle begins</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>1,</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>1,</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>1, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>2, 1, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>6, 3, 1, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>21, 8, 3, 1, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>112, 30, 9, 3, 1, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>853, 145, 32, 9, 3, 1, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>The sum of the terms of the m_th line is equal to A000088(m).</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Example 2) Number of graphs on n labeled nodes with m connected components</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>offset 0</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Formula</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Sum over the partitions of n with exactly m parts</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman">c_1 + 2c_2 + … + nc_n,<SPAN style="mso-spacerun: yes">  </SPAN>c_1, c_2, ... , c_n >= 0;<SPAN style="mso-spacerun: yes">  </SPAN>of<o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR">n!\prod_{j=1}^n\,{\frac{</SPAN><SPAN style="mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-ansi-language: PT-BR"> A001187(j)</SPAN><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR">^{c_j}} {j!^{c_j}c_j!}}<o:p></o:p></SPAN></FONT></FONT></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN style="mso-ansi-language: PT-BR"><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Triangle begins</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>1,</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>1,</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>1, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>4, 3, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>38, 19, 6, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>728, 230, 55, 10, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>26704, 5098, 825, 125, 15, 1</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>The sum of the terms of the m_th line is equal to A006125(m).</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>----------------------------------------------------------------------------</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>So anybody can use those formulas because they are simple, no GFs, etc. If one has the ability to use transforms, the formulas can be used to check the results so obtained. I am thinking in implementation errors like overflow of values and the like. </FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Now, at what extent those “partition formulas” can do what those transforms do? Let me make some questions in this direction.</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>The mentioned transforms allowed one to count graphs with components of two (or more) “types”. For example graphs with trees and unicycles?</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>I guess they do. If this is true they are superior to the formulas in this aspect.</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Those transforms allowed one to count graphs with restrictions on the order and number of components? If this is true, it is easy to do that particularly concerning the inverse Euler transform?</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>----------------------------------------------------------------------------</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>I always enjoyed when I visited the site</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><A href="http://www.research.att.com/~njas/sequences/transforms.html"><FONT face="Times New Roman" color=#800080 size=5>http://www.research.att.com/~njas/sequences/transforms.html</FONT></A><FONT face="Times New Roman" size=5>. I did it three or four times I think. Once I went to the task of extend the sequence A001429 with formula a(n) = A068051(n) - A027852(n) - A000081(n). I worked well with A027852 but I cannot understand the DIK transform, so I did not extend A001429. When that happened I almost sent an Email to you to help me with the "DIK" transform. Now I am happy to talk with you.</FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P>
<P class=MsoNormal style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt"><SPAN lang=EN-US><FONT face="Times New Roman" size=5>Washington</FONT></SPAN></P>
<DIV style="BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; PADDING-BOTTOM: 1pt; BORDER-LEFT: medium none; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: windowtext 0.75pt solid">
<P class=MsoNormal style="BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .75pt; mso-padding-alt: 0cm 0cm 1.0pt 0cm"><SPAN lang=EN-US><FONT size=5><FONT face="Times New Roman"> <o:p></o:p></FONT></FONT></SPAN></P></DIV></DIV></DIV>