<DIV>Dear Richard and other seqfans, </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>The exact formula for the terms d_n of A122046, which are the degrees of the polynomials </DIV>
<DIV>generated by the quadratic recurrence </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>P_{n}P_{n-5}= x^{n-1}P_{n-1}P_{n-4}+P_{n-2}P{n-3} -----(*)</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>with the five initial values P_{-3}=...=P_1=1, is </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>d_n =\frac{1/4\sqrt{2}}\cos((2n+1)\pi / 4)+\frac{1}{96}(2n+3)(2n^2+6n-5)+\frac{1}{32}(-1)^n. <BR></DIV>
<DIV>This comes from the fact that the degrees d_n satisfy the 7th order homogeneous linear recurrence </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>(S-1)^4(S+1)(S^2+1)d_n=0 </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>(where S is the shift operator, i.e. Sf_n =f_{n+1}) and the seven initial values for this are </DIV>
<DIV>d_{-3}=...=d_1=0 and d_2=1,d_3=3. </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>The proof is as follows: </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Assume that (*) with five initial 1s generates a sequence of polynomials in x (see note below). </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Then from (*) it follows that the degrees of the polynomials satisfy the 5th order recurrence </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>d_{n}+d_{n-5} = max \{ n-1 + d_{n-1}+d_{n-4},d_{n-2}+d_{n-3} \} </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>(with 5 zeros as initial data: d_{-3}=...=d_1=0). </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Letting v_n =  d_n+d_{n-3}-d_{n-1}-d_{n-2} this becomes the second order recurrence </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>v_n+v_{n-2}=\max { n-1, - v_{n-1} \}   ---(**)  </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>with initial values v_0=v_1=0. By induction it is easy to see that v_n is non-negative and </DIV>
<DIV>satisfies </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>v_n + v_{n-2} = n-1 </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>for all n \geq 2 (so the first term on the r.h.s. of (**)  is always the largest). </DIV>
<DIV>This is equivalent to a 5th order linear inhomogeneous recurrence for the degrees </DIV>
<DIV>d_n (whose consequence is the 7th order homogeneous linear recurrence given above), </DIV>
<DIV>and the explicit formula for d_n then follows. <BR></DIV>
<DIV>Note: Richard Mathar has alerted me to the fact that apparently no proof has been given that the </DIV>
<DIV>recurrence (*) introduced by Roger Bagula does indeed produce polynomials in x. The recurrence (*) is a non-autonomous version of the Somos-5 recurrence, and the fact that it generates </DIV>
<DIV>polynomials is a generalisation of the Laurent phenomenon studied by Fomin & Zelevisnky in </DIV>
<DIV>their work on cluster algebras. However, their methods to not apply directly here. Nevertheless, </DIV>
<DIV>I think it is fairly easy to prove the Laurent property for (*) directly by induction - when I </DIV>
<DIV>have time I will supply a proof to anyone that is interested. I'm currently writing a book on </DIV>
<DIV>nonlinear recurrences, in which the OEIS is likely to feature, and there should be a chapter </DIV>
<DIV>on these type of recurrences which are related to discrete Painleve equations.</DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>Lastly,  I've noticed that A122047 should say "Somos-6" not "Samos-6". The proof </DIV>
<DIV>of the Laurent property for the quadratic recurrence appearing in A122047 is likely to be rather </DIV>
<DIV>harder, and will require a fair amount of computer algebra. </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>All the best</DIV>
<DIV>Andy </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV>P.S. I'll put my old poster, relevant to <A title="Bisection of A001400." href="http://www.research.att.com/~njas/sequences/A014125"><FONT face="Courier New">A014125</FONT></A>,A122046,A122047 up on the arXiv </DIV>
<DIV>later this week, so that the broken link can be removed. There are some errors in the poster </DIV>
<DIV>(including a conjecture which is certainly wrong) but I am inclined to upload it in its original </DIV>
<DIV>form rather than succumb to revisionism. </DIV>
<DIV>   </DIV>
<DIV> </DIV>
<DIV><BR>----- Original Message -----<BR>From: A.N.W.Hone@kent.ac.uk<BR>Date: Monday, July 14, 2008 10:24 am<BR>Subject: Re: request for help with obscrure sequence<BR>To: Richard Mathar <mathar@strw.leidenuniv.nl><BR>Cc: seqfan@ext.jussieu.fr<BR><BR>> Hi seqfans,  <BR>> <BR>> That looks like the right definition of the sequence, which <BR>> perhaps the author (Roger Bagula) <BR>> can confirm. <BR>> <BR>> I'd be very surprised if there is not a simple exact formuala <BR>> for the degrees - let me have a look <BR>> at it. <BR>> <BR>> I'll try to restore the broken link to my preprint this week, <BR>> but I see that there is a cached copy. <BR>> Maybe I'll just put it on the arXiv, if it's not there already. <BR>> <BR>> Andy <BR>> <BR>> <BR>> ----- Original Message -----<BR>> From: Richard Mathar <mathar@strw.leidenuniv.nl><BR>> Date: Friday, July 11, 2008 8:09 pm<BR>> Subject: Re: request for help with obscrure sequence<BR>> To: seqfan@ext.jussieu.fr<BR>> <BR>> > <BR>> > njas> From seqfan-owner@ext.jussieu.fr  Fri Jul 11 <BR>> 14:48:15 2008<BR>> > njas> Date: Fri, 11 Jul 2008 08:46:52 -0400<BR>> > njas> From: "N. J. A. Sloane" <njas@research.att.com><BR>> > njas> To: seqfan@ext.jussieu.fr<BR>> > njas> Subject: request for help with obscrure sequence<BR>> > njas> Cc: jerry_metzger@und.nodak.edu, njas@research.att.com<BR>> > njas> <BR>> > njas> Dear Seqfans,  can someone figure out what the <BR>> > definition means?<BR>> > njas> The link is broken, and A N W Hone has not responded to<BR>> > njas> my asking for a new URL for the article.<BR>> > njas> Neil<BR>> > njas> ...<BR>> > njas> %S A122046 <BR>> > <BR>> 0,0,1,3,6,10,16,24,34,46,61,79,100,124,152,184,220,260,305,355,410njas> %N A122046 a(n)=(x^(n - 1)a(n - 1)a(n - 4) + a(n - 2)*a(n - 3))/a(n - 5).<BR>> > njas> %F A122046 Comment from Jerry Metzger <BR>> > (jerry_metzger(AT)und.nodak.edu), Jul 09 2008: It appears that <BR>> > every 4th term is given by Sum_{m=1...n-1} (floor{m(n-2)/n})^2 <BR>> > and the intermediate terms by adding an easy "adjustment" term <BR>> > to that sum.<BR>> > njas> ...<BR>> > <BR>> > The definition is<BR>> > Degree of the polynomial P(n,x)= [x^(n-1)*P(n-1,x)*P(n-<BR>> 4,x)+P(n-<BR>> > 2,x)*P(n-3,x)]/P(n-5,x) with P(1,x)=P(0,x)=P(-1,x)=P(-2,x)=P(-<BR>> 3,x)=1.> <BR>> > The sequence continues<BR>> > 0, 0, 1, 3, 6, 10, 16, 24, 34, 46, 61, 79, 100, 124, 152, 184, <BR>> > 220, 260, 305,<BR>> > 355, 410, 470, 536, 608, 686, 770, 861, 959, 1064, 1176, 1296, <BR>> > 1424, 1560, 1704,<BR>> > 1857, 2019, 2190, 2370, 2560<BR>> > <BR>> > found with a Maple program<BR>> > <BR>> > P := proc(n) option remember ;<BR>> >         if n <= 1 then<BR>> >                 RETURN(1) ;<BR>> >         else<BR>> >                 (P(n-1)*P(n-4)*q^(n-1)+P(n-2)*P(n-3))/P(n-5) ;<BR>> >                 expand(%) ;<BR>> >                 factor(%) ;<BR>> >         fi ;<BR>> > end:<BR>> > for n from 0 to 80 do<BR>> >         bag := P(n) ;<BR>> >         printf("%d <BR>> > %d\n",n,degree(bag,q)) ;<BR>> > od:<BR>> > <BR>> > It does not satisfy a linear recurrence with 6 or less <BR>> > coefficients (as<BR>> > one may have hoped spying at A014125).<BR></DIV>