<div dir="ltr">I think the proof can be made quite rigorous: it is clear that the least m with tau(m) = n must be composed of minimal primes. as you mentioned, so for n > 1, m must be even. So we have m+1 odd, tau(m+1) = n, and m+1 is the second smallest k with tau(k) = n. It follows (for n > 1) that m+1 = 3^x and m = 2^x, satisfiable only by x=1.<br>
<br>It is of related but less vital interest to look at the sequence of t(n, 2) - t(n, 1) where t(a, b) represents the b'th +ve integer with a factors, or of successive minima in the sequence.<br><br>If my (hand-) calculations are correct, the first looks like [ 1, 5, 2, 65, 6, 665, 6, 64, 32, 58025, 12, ... ], not currently in OEIS. The second probably looks like [ 1, 2, 6, 12, 48?, ... ], but constructing the appropriate proof for each value is more work.<br>
<br>Hugo<br><br><div class="gmail_quote">2008/8/14 Leroy Quet <span dir="ltr"><<a href="mailto:q1qq2qqq3qqqq@yahoo.com">q1qq2qqq3qqqq@yahoo.com</a>></span><br><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">
Never mind. It seems quite obvious that there are no more m's or n's.<br>
<br>
Someone please correct me if I am wrong:<br>
Let us say that m has 2n divisors. Then there are a number of ways the exponents in the prime-factorization of m, independent of the primes in the prime-factorization, can be written. (Since 2n = product(1 + e_k), where each e_k is an exponent in the prime-factorization.)<br>

<br>
Since m is the SMALLEST m with 2n divisors, then the primes dividing m are all consecutive primes starting with 2.<br>
<br>
But m+1 is coprime to m. So its primes must differ from those dividing m, and therefore be larger than the largest prime dividing m.<br>
Now, it is possible that the exponents in the prime-factorization of m+1 (which lead to the number of divisors of m+1 being 2n) would allow m+1 to be very close to m (one away from m, in fact), because the prime-factorization exponents of m+1 are smaller than those of m. But if that is so, then replacing the primes that divide m+1 with consecutive primes starting at 2, using the same prime-factorization exponents, would produce an integer <= m.<br>

<br>
This is all unrigorous, of course. But I am tired and lazy. The makings of the start of a rigorous proof are here, hopefully.<br>
<br>
Thanks,<br>
Leroy Quet<br>
<br>
<br>
<br>
--- On Thu, 8/14/08, Leroy Quet <<a href="mailto:q1qq2qqq3qqqq@yahoo.com">q1qq2qqq3qqqq@yahoo.com</a>> wrote:<br>
<br>
> From: Leroy Quet <<a href="mailto:q1qq2qqq3qqqq@yahoo.com">q1qq2qqq3qqqq@yahoo.com</a>><br>
> Subject: d(m) = d(m+1) = 2n<br>
> To: <a href="mailto:seqfan@ext.jussieu.fr">seqfan@ext.jussieu.fr</a><br>
> Cc: <a href="mailto:qq-quet@mindspring.com">qq-quet@mindspring.com</a><br>
> Date: Thursday, August 14, 2008, 9:38 PM<br>
<div><div></div><div class="Wj3C7c">> Consider the two sequences, one of positive integers m and<br>
> one of positive integers n:<br>
> m and n are such that m is the smallest positive integer<br>
> with 2n divisors, and m+1 also has 2n divisors.<br>
><br>
> For example, 2 has 2 divisors, and 2+1 also has 2 divisors.<br>
> And 2 is the smallest positive integer with 2 divisors.<br>
><br>
> So the m sequence starts: 2,...<br>
> And the n sequence starts: 1,...<br>
><br>
> This may be easily answered, I bet, but are there any other<br>
> m's and n's?<br>
><br>
> Thanks,<br>
> Leroy Quet<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
</div></div></blockquote></div><br></div>