[seqfan] Re: Sequence related to jittery function
Gottfried Helms
helms at uni-kassel.de
Fri Feb 12 20:05:12 CET 2021
Am 12.02.2021 um 08:26 schrieb bacher:
> Hi,
>
> I believe that something interesting is going on with
> Jens Voss's bijections:
>
> Every orbit among the n(n-1)/2 elements of X_n gives rise to a cyclic pattern
> by considering \lfloor (a_i+b_i)/n\rfloor in {0,1} along the orbit.
>
> Not every pattern is possible (this excludes the case of orbits
> of length 2 but it should be possible to characterize such orbits).
>
> A given cyclic pattern occurs then in an arithmetic progression of
> possible values for n.
>
> This leads to perhaps interesting identities summing
> since X_n is the union of all its orbits.
>
> It would be nice to work this out. I will think I
> will give it a try.
>
I traced the cycles for a given (n) into a matrix of size nxn,
using the argument (a,b) as (row,col)-index.
Starting with (a,b)=(1,2) traversing the whole cycle and
inserting in M[a,b] the current number of iteration.
Usually the matrix (more correctly: the upper right triangle)
is not filled by the protocol of the first cyle.
Then find another starting value by scanning towards any
zero-entry, say (a,b)=(1,6) .
Iterate filling protocols into the matrix until the matrix
is full.
Incidentally I've looked at the evolution of the image of the
matrix over the runs for one protocol after another.
Especially for n=64 I've got nice patterns, reminded me
a bit of Langton's ants...
Gottfried
Pari/GP
{myfu(AB,h=1,N=20)=my(a=AB[1],b=AB[2],c,a1,b1);
for(k=1,h, if(a>b,c=a;a=b;b=c);
a1=b-a;b1=a+b;if(b1>N,b1=2*N+1-b1);
a=a1;b=b1);
[a,b] }
\\ run protocol for one cycle
{makemat(M)=my(n=#M,AB,AB0,cyc,r,c);
for(t=1,1, \\ iterate this only for one cycle-detection by one to see patterns when matrix M gets filled
AB=[0,0];
for(r=1,n-1,
for(c=r+1,n,
if(! M[r,c], AB0=AB=[r,c];break(2)))); \\ find some initial value for next cylce
if(AB==[0,0],print("No more cycles");break());
print(AB); \\ protocol for each cycle
for(k=1,1000,
cyc=k;print(cyc," ",AB);r=AB[1];c=AB[2];M[r,c]=k;
AB=myfu(AB,,n);
if(AB==AB0,break()); \\ iteration goes into cycle
);
print("----\n",cyc+1," ",AB);
);return(M);}
n=3^2; M=matrix(n,n); \\ various initializations
n=3^3; M=matrix(n,n);
n=4^2; M=matrix(n,n);
n=4^3; M=matrix(n,n); \\ interesting pattern when matrix M gets filled!
n=5^2; M=matrix(n,n);
n=6^2; M=matrix(n,n);
n=7^2; M=matrix(n,n);
n=48; M=matrix(n,n);
n=56; M=matrix(n,n);
%box >M MZero(M=makemat(M)) \\ PariTTY-%Box-command to put matrix-output in window "M"
(Sorry, cannot append the compacter bitmap, thus the printout when about half the cycles are protocolled. Use FIXFONT/MONOSPACE)
. 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 13
. . 14 3 . 4 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 11 . 10 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 12 12 13
. . . 14 2 . . . . . 6 . . . . 9 . . . . . . . . . . . . 10 . . 11 . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 . 13
. . . . 14 2 5 5 5 . 5 6 5 . 5 5 5 . 5 5 5 . 5 5 5 . 5 5 5 . 5 5 5 . 5 5 5 . 5 5 5 . . 5 5 . . 5 5 . . 5 5 . . 5 5 . . 5 12 . . 13
. . . . . 14 2 . . . . . 6 . . 9 . . . . . . . . . . 10 . . . . 11 . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 . . . 13
. . . . . . 14 2 . 4 . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 . . . . 13
. . . . . . . 14 2 . . . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 . . . . . 13
. . . . . . . . 7 2 . 4 . 7 7 7 7 7 . . . 7 7 8 7 7 . . . 7 7 7 7 7 . . . 7 7 7 7 7 . . . 7 7 7 7 7 7 . . 7 7 7 7 7 7 . . 7 7 7
. . . . . . . . . 14 2 . . . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . 14 2 . 4 . . . . . . . . . . . 8 . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . 14 2 . . 9 . . 6 . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . 14 2 . 4 . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . 14 2 9 . . 10 . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . 14 2 . 4 . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . 9 10 . . . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 4 9 . . 6 . . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 . . . . . . 9 9 9 9 10 9 9 9 9 9 . . . . . . 9 9 9 9 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 . . . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 . 4 . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 . 4 . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . . . . . 11 . . . . . 8 . . . 12 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . 6 11 . . . . . . 8 . 12 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . . . 6 . . . . . . . 8 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . 11 6 . . . . . 12 12 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . 11 . . . . . 12 12 . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . 11 . . 6 . 12 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . . . 6 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 11 . . 12 12 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . 12 12 . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . 10 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 12 . . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . 10 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 11 11 11 11 11 11 6 11 11 . . . . . 8 . . . . . 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . 10 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 4 . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . 8 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . . . . . . . . . . . 8 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . . . 6 10 . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . . 10 6 . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 10 . . . . . . . . . . 8 . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . 10 4 . . . . . . . . . . . 8 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . 4 . . . 6 . . . . . . . 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . . . 6 . . . . . . 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . . . . . . . . 8 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . . . . . . 8 . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . . . 6 . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . . . 6 . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 8 . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . 8 4 . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . 4 . . . 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-------------------------------------------------------------------
More information about the SeqFan
mailing list