[seqfan] Re: Sequence related to jittery function
bacher
Roland.Bacher at univ-grenoble-alpes.fr
Fri Feb 12 22:41:54 CET 2021
Hi,
I believe the jittery function should be considered as a sort of
generalization
of the tent map x->min(2x,2-x).
Indeed, working with coordinates (X,Y)=(x,y-x), x+y<1
instead of x<y<1 we get
(X,Y)->(Y,min(2X,2-2(X+Y)))
whose square is the tent map on coordinate axes.
Voss's map is obtained by restriction to integer points
not on the boundary of the rescaled triangle
after conjugating the above map with a dilatation by
(n+1/2).
There is an obvious d-dimensional generalisation given by
(x1,....,xd)->(x2,x3,...,x(d-1),min(2x1,2-2sum_i xi)))
(Voss's analogue is given by replacing the affine constant "2"
by 2n+1 and by working with strictly positive integers summing
up at most to n).
d=1, (the tent map) has orbits of all possible lengths,
d=2, (Voss's example) has no orbits of length 2 in the interior
(there are 3 orbits on the boundary, corresponding to
the 3 possible cyclic kneading sequences of period length 2)
all other orbits can be realized by kneading sequences
0000...0011 (even length, 0000...001 is on the boundary for even length)
0000...001 (odd length) (the kneading sequence encodes the
parity of the last coordinate under
(X,Y)->(Y,min(2X,2n+1-2(X+Y))) on consecutive terms of the orbit)
In general (for arbitrary d), there should be a finite number of orbit-lengths
only realized on the boundary.
The interesting "sequence" is thus for given dimension d
the finite set of "impossible" orbit-lengths for the analogue of
Voss's jittery map.
Best wishes, Roland
Gottfried Helms <helms at uni-kassel.de> a écrit :
> Am 12.02.2021 um 08:26 schrieb bacher:
>> Hi,
>>
>> I believe that something interesting is going on with
>> Jens Voss's bijections:
>>
>> Every orbit among the n(n-1)/2 elements of X_n gives rise to a
>> cyclic pattern
>> by considering \lfloor (a_i+b_i)/n\rfloor in {0,1} along the orbit.
>>
>> Not every pattern is possible (this excludes the case of orbits
>> of length 2 but it should be possible to characterize such orbits).
>>
>> A given cyclic pattern occurs then in an arithmetic progression of
>> possible values for n.
>>
>> This leads to perhaps interesting identities summing
>> since X_n is the union of all its orbits.
>>
>> It would be nice to work this out. I will think I
>> will give it a try.
>>
> I traced the cycles for a given (n) into a matrix of size nxn,
> using the argument (a,b) as (row,col)-index.
> Starting with (a,b)=(1,2) traversing the whole cycle and
> inserting in M[a,b] the current number of iteration.
> Usually the matrix (more correctly: the upper right triangle)
> is not filled by the protocol of the first cyle.
> Then find another starting value by scanning towards any
> zero-entry, say (a,b)=(1,6) .
> Iterate filling protocols into the matrix until the matrix
> is full.
>
> Incidentally I've looked at the evolution of the image of the
> matrix over the runs for one protocol after another.
> Especially for n=64 I've got nice patterns, reminded me
> a bit of Langton's ants...
>
> Gottfried
>
> Pari/GP
> {myfu(AB,h=1,N=20)=my(a=AB[1],b=AB[2],c,a1,b1);
> for(k=1,h, if(a>b,c=a;a=b;b=c);
> a1=b-a;b1=a+b;if(b1>N,b1=2*N+1-b1);
> a=a1;b=b1);
> [a,b] }
>
> \\ run protocol for one cycle
> {makemat(M)=my(n=#M,AB,AB0,cyc,r,c);
> for(t=1,1, \\ iterate this only for one cycle-detection by one to
> see patterns when matrix M gets filled
> AB=[0,0];
> for(r=1,n-1,
> for(c=r+1,n,
> if(! M[r,c], AB0=AB=[r,c];break(2)))); \\ find some
> initial value for next cylce
> if(AB==[0,0],print("No more cycles");break());
>
> print(AB); \\ protocol for each cycle
> for(k=1,1000,
> cyc=k;print(cyc," ",AB);r=AB[1];c=AB[2];M[r,c]=k;
> AB=myfu(AB,,n);
> if(AB==AB0,break()); \\ iteration goes into cycle
> );
> print("----\n",cyc+1," ",AB);
> );return(M);}
>
> n=3^2; M=matrix(n,n); \\ various initializations
> n=3^3; M=matrix(n,n);
> n=4^2; M=matrix(n,n);
> n=4^3; M=matrix(n,n); \\ interesting pattern when matrix M gets filled!
> n=5^2; M=matrix(n,n);
> n=6^2; M=matrix(n,n);
> n=7^2; M=matrix(n,n);
> n=48; M=matrix(n,n);
> n=56; M=matrix(n,n);
>
> %box >M MZero(M=makemat(M)) \\ PariTTY-%Box-command to put
> matrix-output in window "M"
>
> (Sorry, cannot append the compacter bitmap, thus the printout when
> about half the cycles are protocolled. Use FIXFONT/MONOSPACE)
>
> . 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 8 1
> 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 11 10 1 1 1 1
> 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . 12 13
> . . 14 3 . 4 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3
> . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 11 . 10 . 3 .
> 3 . 3 . 3 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
> 3 3 3 3 3 3 3 12 12 13
> . . . 14 2 . . . . . 6 . . . . 9 . .
> . . . . . . . . . . 10 . . 11 . . 10 . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . 12 12 . 13
> . . . . 14 2 5 5 5 . 5 6 5 . 5 5 5 .
> 5 5 5 . 5 5 5 . 5 5 5 . 5 5 5 . 5 5 5
> . 5 5 5 . . 5 5 . . 5 5 . . 5 5 .
> . 5 5 . . 5 12 . . 13
> . . . . . 14 2 . . . . . 6 . . 9 . .
> . . . . . . . . 10 . . . . 11 . . . . 10
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . 12 12 . . . 13
> . . . . . . 14 2 . 4 . . . . . . . .
> . . . 8 . . . . . . . . . 11 . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . 12 12 . . . . 13
> . . . . . . . 14 2 . . . . . 6 . . .
> . . . . 8 . . . . . . . . 11 . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . 12 12 . . . . . 13
> . . . . . . . . 7 2 . 4 . 7 7 7 7 7
> . . . 7 7 8 7 7 . . . 7 7 7 7 7 . . .
> 7 7 7 7 7 . . . 7 7 7 7 7 7 . . 7
> 7 7 7 7 7 . . 7 7 7
> . . . . . . . . . 14 2 . . . . . 6 .
> . . . . . . 8 . . . . . . 11 . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> 12 12 . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . 14 2 . 4 . . . .
> . . . . . . . 8 . . . . . 11 . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . 12
> 12 . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . 14 2 . . 9 . .
> 6 . 10 . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . 10 . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . 14 2 . 4 . .
> . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . 10 . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . 14 2 9 . .
> 10 . 6 . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . 10 . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . 14 2 . 4
> . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . .
> . . . . . . . . 10 . . . . . . . .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 .
> . . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . . .
> . . . . . . . . . 10 . . . . . . .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9
> 9 4 9 . . 6 . . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
> . . . . . . 9 9 9 9 10 9 9 9 9 9 .
> . . . . . 9 9 9 9 9
> . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
> 2 . . . . . 6 . . . . . . . 8 . . . .
> . . . . . . . . . . . 10 . . . . .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> 14 2 . 4 . . . . . . . . . . . 8 . . .
> . . . . . . . . . . . . 10 . . . .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . 14 2 . . . . . 6 . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . 10 . . .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . 14 2 . 4 . . . 6 . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . 10 . .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . 2 . . . . . 6 . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . 10 .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . 2 . 4 . . . . . 11 . . . . .
> 8 . . . 12 12 . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . 2 . . . . . 6 11 . . . . .
> . 8 . 12 12 . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . 2 . 4 . . . 6 . . . . .
> . . 8 12 . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . 2 . . . . 11 6 . . . .
> . 12 12 8 . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . 2 . 4 . 11 . . . . .
> 12 12 . . 8 . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . 2 . . 11 . . 6 . 12
> 12 . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . 2 . 4 . . . 6 12
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . 10 . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . 2 11 . . 12 12 6
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . 10 . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . 11 . 12 12 . .
> . . . . . . . . 8 . . . . . . . .
> . . . . . . . 10 . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . 11 12 12 . . .
> . 6 . . . . . . . 8 . . . . . . .
> . . . . . . . . 10 .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . 12 11 11 11 11
> 11 11 6 11 11 . . . . . 8 . . . . . 11
> 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . .
> . . . 6 . . . . . . . 8 . . . . .
> . . . . . . . . . 10
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 .
> 4 . . . . . . . . . . . 8 . . . .
> . . . . . . . . 10 .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
> . . . . . 6 . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . 10 . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> 2 . 4 . . . 6 . . . . . . . . . .
> . . . . . . 10 . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . 2 . . . . . 6 . . . . . . . . .
> . . . . . 10 . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . 2 . 4 . . . . . . . . . . . 8
> . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . 2 . . . . . . . . . . . . .
> 8 . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . 2 . 4 . . . 6 . . . . . .
> . 8 . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . 2 . . . . . 6 . . . . .
> . . 8 . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . 4 . . . . . . . .
> . . . 8 . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . 14 . . 4 . . . . . . .
> . . . . 8 . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . 14 . . 4 . . . 6 10 .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . 14 . . 4 . . 10 6 .
> . . . . . . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . 14 . . 4 10 . . .
> . . . . . . . 8 . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . 14 . 10 4 . . .
> . . . . . . . . 8 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . 10 . . 4 . .
> . 6 . . . . . . . 8
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . 14 . . 4 .
> . . 6 . . . . . . 8
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . 14 . . 4
> . . . . . . . . 8 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . 14 . .
> 4 . . . . . . 8 . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . 14 .
> . 4 . . . 6 . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . 14
> . . 4 . . . 6 . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> 14 . . 4 8 . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . 14 . 8 4 . . . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . 8 . . 4 . . . 6
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . 14 . . 4 . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . 14 . . 4 . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . 14 . . 4 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . 14 . . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . 14 . 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . 14 13
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . . . . . . . . .
> . . . . . . . . . 14
> . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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